数学竞赛试卷

注意：

本试卷为自命题试卷，请不要在平台上搜索考试答案或者在答题中使用任何软件。本卷共有6道题，16道小题，满分150分。总答题时间8小时。开考前你们有10分钟的时间浏览试卷。本试卷不设相应答题卡，答案请写在桌上的A4纸上，A4纸一人5张。

1.（初等平面几何）在平面内有正三角形ABC，D是BC上一点，E是ABD的外心，F是ACD的外心。请回答以下问题。

（1）做三角形DEF。求证：DEF是等边三角形。（2分）

（2）BF、CE交于G，求证G是ABC的中心。（3分）

（3）延长BE、CF交于H，求证GH=GC。（3分）

（4）做a过E垂直于AF；b过F垂直于BE；a与b相交于K。求证：K在AB上。（8分）

命题：咲东、MOKE

审核：一信、二神

2.（代数基础分析）已知f(x)=e^x-x^e。

（1）请计算出该函数的导数。（3分）

（2）求证：函数值恒大于等于0。（4分）

（3）请问该函数有多少个极点？（5分）

（4）请计算出该函数的零点与所有极点顺次连接组成的凸多边形的面积。（5分）

命题：MOKE、二神

审核：一信

3.（代数综合分析）已知函数y=x*e^（x+a），e为自然底数。

（1）求该函数的极点。（5分）

（2）求证：该函数有且仅有一条渐近线，并写出这条渐近线的类型。（8分）

（3）求证：f(x)+e^(a-1)≥0。（10分）

（4）当y=tx（t是关于a的函数）仅有一个根时，求出方程的根。此时at是否有最值？如果有，请写出这个最值；如果没有，请说明理由。（10分）

命题：二神、咲东

审核：MOKE

4.（新场景应用）在3*4的网格内有一颗黑子与两颗白子，按照如下方式移动：黑子开始时处在左上角的格子中，每次移动2格（可以横向竖向各移动1格，禁止斜向移动）。一个白子处在黑子右下角的一格，两个白子相距2格，每个白子每次移动一格。黑先白后。当两个白子都挨在黑子旁边时黑子就输了。请问黑方是否有不输的办法？如果没有，请问白方至多在多少次之后胜利？请给出证明过程。（25分）

命题：MOKE、一信

审核：咲东

5.（平面解析几何）平面直角坐标系xOy内做一个圆，这个圆的半径为2，圆心为坐标原点O。A（1，0），B（0，1）。C点是这个圆上的一个动点。

延长BC交x轴于D点，延长AC交y轴于E点。

（1）请求出AD*BE的值。（5分）

（2）分别做DC、EC的中垂线p、q交于K。求证：K在定直线x-y=0上。（7分）

命题：二神

审核：MOKE、咲东

（3）分别做l1、l2过A、B垂直于CD、BD交于K。求证：CK的长度、与坐标轴的夹角与C点所在位置无关，并计算出C点顺时针运动360度时CK扫过部分的面积。（12分）

（4）延长KC、KB交圆于M、N，求出K的轨迹方程，并证明JG、KH、AI三线共点。（15分）

6.（数论）完全平方数可以由两个相同的数相乘得到，它寄寓了人们对一切美好事物的无止境追求。

（1）是否存在一个八位完全平方数，使七只由1和4构成？请证明你的结论。（8分）

（2）是否存在2022位完全平方数使得它只由1、4、9、0构成，而且不以零结尾？请证明你的结论。（12分）

命题：MOKE

审核：一信、咲东

鸣谢名单

总策划：一信

总负责人：咲东

设备：MOKE、二神

题目顺序校验：二神

题目内容校验：MOKE（101、201～203、301～302、304、501、503、602）、咲东（102、204、303、401、502、504、601）

6.22初次拟定

6.25定稿

6.29最终审核