第一次数学危机简介，毕达哥拉斯悖论
欧几里得109、第一次数学危机简介，毕达哥拉斯悖论
2016.12.19，网友“大颖（yǐng）子”发表名为《第一次数学危机简介》的文章。
…颖：形声字，最早见于《说文（说文解字）》小篆（zhuàn）。形构从禾、顷声。从禾，表示与稻禾相关；顷声，表示音读。其本义是禾穗（suì）的尖端。长在植物尖端的一般都是嫩芽，所以“颖”引申指草木的嫩芽。引申泛指物体的尖端。
字义：1.稻、麦等禾谷子实带芒的外壳。
2.锥子杆儿前端固定针的金属环。也指某些小而细长东西的尖端：脱～而出。
3.聪明：～悟…
[…形声：一种造字法…是说字由“形”和“声”两部分合成，形旁和全字的意义有关，声旁和全字的读音有关。如由形旁“氵（水）”和声旁“工、可”分别合成“江、河”…
…形声字：用形声造字法造出来的字…]
文章内容：
…
公元前六世纪，在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派，其思想在当时被认为是绝对权威的真理。
…真、理、真理：见《欧几里得43》…
毕达哥拉斯学派倡导的是一种被称为“唯数论”的观点，他们认为宇宙的本质就是数的和谐。
…本、质、本质：见《欧几里得22》…
他们认为万物皆数，而数只有两种，就是正整数和可通约的数（即分数——两个整数的比），除此之外不再有别的数，即是说世界上只有整数或分数。
…通约：通分，约分，简称“通约”…见《欧几里得107》…
毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大贡献是证明了毕达哥拉斯定理，也就是我们所说的勾股定理。
勾股定理指出直角三角形三边应有如下关系：两条直角边的平方和等于斜边的平方。
然而不久毕达哥拉斯学派的一个学生希帕索斯发现了问题。
…希帕索斯：见《欧几里得17》…
他发现边长相等的正方形其对角线长不能用整数或整数之比（分数）表示。
假设正方形边长为1。设其对角线长为d，依勾股定理有d2=12+12=2（d的平方=1的平方+1的平方=2），即d2=2（d的平方=2），那么d是多少呢？
显然d不是整数，那它必是两整数之比。
希帕索斯花了很多时间来寻找这两个整数之比，结果没找着，反而找到了两数不可通约的证明。
…不可通约：不能通分，约分…
“通分需分子分母同时乘一个数，约分需分子分母同时除一个数…”一位爱学习的女生说。
“什么数不能通分约分？不能化成分数的数不能通分约分。”女生接着说。
边长为1的正方形，对角线长为d。d如果是两整数之比，则两整数不可通约。
用反证法证明如下：设直角△ABC两直角边为a=b，斜边为c，依勾股定理有c2=2a2（c的平方=2×a的平方）。
…反、证、法、反证法：见《欧几里得72》…
∵ a和c可通约
∴ 设已将a和c中的公约数约去，即a、c是互质的整数
∵ c2=2a2（c的平方=2×a的平方）
∴ c为偶数，a为奇数
不妨令c=2m，则有：（2m）2=2a2[（2m）的平方=2×a的平方]
（2m）2=2a2化简一下得2×m2=a2（2×m的平方=a的平方），于是a为偶数。
这与前提a为奇数矛盾。
这一发现历史上称为毕达哥拉斯悖（bèi）论。
…悖、论、悖论：见《欧几里得27》…
“顺便说一下证明上述对角线长度是无理数的方法：”中学生说。
证明上述对角线长度是无理数的方法：
∵ “a既是奇数、又不是奇数”不符合数学事实
∴ “a既是奇数、又不是奇数”为假
…事、实、事实：见《欧几里得6、7》…
…∵：数学符号“因为”…见《欧几里得77》…
…∴：数学符号“所以”…见《欧几里得77》…
…假：不符合事实…见《欧几里得75》…
“a和c可通约”能推导出“a既是奇数、又不是奇数”的推论。
…推、导、推导：见《欧几里得7》…
…论、推论：见《欧几里得66》…
∵ 推导方法正确，推论假，推导出推论的命题必为假（逻辑关系）
∴ “a和c可通约”为假
…命、题、命题：见《欧几里得70》…
…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…
∵ 两个互相矛盾的命题，不可能同时为真，必有一假（矛盾律）
…矛盾律：见《欧几里得73》…
∴ “a和c可通约”“a和c不可通约”必有一假
∵ 两个互相矛盾的命题，不可能同时为假，必有一真（排中律）
…排中律：见《欧几里得72~74》…
∴ “a和c可通约”为假时，“a和c不可通约”为真
∴ a和c不可通约
“毕达哥拉斯悖（bèi）论的出现，对毕达哥拉斯学派产生了沉重的打击，“数即万物”的世界观被极大的动摇了，有理数的尊崇地位受到挑战，因此也影响到了整个数学的基础，使数学界产生了极度的思想混乱，历史上称之为第一次数学危机。
请看下集《欧几里得110、世、界、世界，观，世界观，哲、学、哲学》”
若不知晓历史，便看不清未来
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