吴军数学通识-学习笔记（9）几何学与公理体系

20｜几何学：为什么是数学中最古老的分支？ - 得到APP (dedao.cn)

引：从几何早期的发展史，反映出人类认知进步过程【几何学史】

第一阶段是从懵懂的感性认识上升到量化的感性认识的过程。

几何最初源于对土地的丈量（geometry），现在文明的标志是城市，早期人类文明的标志则是农业，而无论是农耕还是建筑，都离不开土地丈量、基本图形尺寸的测量和计算。

为了更好的从事农业生产，古埃人要计算河水在一年不同时间的边界，而在没有准确的计时工具之前，这是个困难的数学问题，当时的人们只能通过观测星象（太阳和天狼星）来确定时间。【时间感】

第二个阶段是美索不达米亚人发明了角度量化的度量。

平面几何需要度量的最主要的对象是长度和角度，前者比较直观容易，后者比较难。美索不达米亚对几何学最大的贡献在于发明了360度的原则和角度上的60进位来量化角度。

这是起源与早期的天文学，因为天上的星空的位置，对应着地球上特定的时间，而这个时间又与植物和动物的生长繁衍阶段有关，因此古人就把天上的星星和地上的事情联系起来了。【占星术】

而由于一年可以划分为12份，一月又大概为30天，所以一年分为了12x30=360份，并把这个划分方法用在了角度的量化上，为了简便，他们选用了它的1/6，60为进位单位就这样产生了。

第三个阶段就是用书记录他们所发现的规律。这样知识就便于传播。

今天存世最早的几何书是古埃及的《莱茵德纸草书》（BC1650），而代数学的出现则要到1000年后的古希腊了。在美索不达米亚出土的泥板上，也记录了很多几何学知识。

这些几何学知识随后传到了古希腊，到了公元前4世纪—公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得等人完成了对几何学公理化体系的构建，并且写成了《几何原本》一书。

总结：个人在学习研究时，也应该学会这个认识过程，从具体到抽象，从简单事实，到完整理论。我们人通常缺的是第二步，对新的事物不知道如何定义度量单位，而没有这一步，总结出来的知识就难以准确描述，只能大概定量描述。

为什么是古希腊人，而不是更早的古巴比伦人完成了几何学理论的构建呢？【古希腊】

一般认为，希腊人对物质生活要求很低，把大部分时间用于了理性的思考和辩论，这让他们能够从知识点中抽象出概念，然后形成体系。

另外，古希腊没有强权的政治，这让学者可以仁者见仁，智者见智，这才有利于科学的发展。这两点也给了我们一些启发。

21｜公理体系：几何的系统理论从何而来？ - 得到APP (dedao.cn)

知识体系化的重要意义【知识体系】

清朝末年，中国当时的数学家们估算圆周率还比不上1000多年前的祖冲之，类似的，同时期阿拉伯学者的水平，也未必能超过他们1000年前的祖先花拉子密。

其实类似的情况举不胜举，古代东方文明经常是后人不如前人，很多研究都得一遍遍从头再来，这导致了科学研究在上千年的时间里原地踏步。

而西方的科学之所以能积累起来，是因为古希腊人这种建立在公理和逻辑基础之上的学科体系，后人可以不断在前人基础上进步，并且能事半功倍，《几何原本》就是典型的例子。

事实上，现代的很多学科，包括人文学科，都受益于这种公理化体系的特点。

知识体系化的完美范例：《几何原本》

几何学大厦的地基：五条一般性的公理 + 五条几何学公理

一般性的公理

如果a=b, b=c, 那么a=c；

如果a=b，c=d，那么a+c=b+d;

如果a=b，c=d，那么a-c=b-d;

彼此能重合的物体（图形）是全等的;

整体大于部分。

几何学公理

由任意一点到另外任意一点可以画直线（也称为直线公理）；

一条有限直线可以继续延长；

以任意点为心，以任意的距离（半径）可以画圆（圆公理）；

凡直角都彼此相等（垂直公理）；

过直线外的一个点，可以做一条，而且仅可以做一条该直线的平行线（平行公理）。至于平行线，就是平面上永不相交的两条线

有了五条基本公理和五条几何公理，欧几里得又定义了一些基本的几何学概念，比如点、线、夹角等等，在这些基础之上，他把当时所知的所有几何学知识都装进了一个极为严密的知识体系。

公理化几何学的构建过程：

首先，遇到一个具体问题，要作相应的定义，比如什么是夹角；

其次，从定义和公理出发，得到相关的定理；

然后，再定义更多的概念，用公理和定理推导出更多的定理；

具体案例：

该笔记已整合入个人知识体系，详见： [笔记1](http://wangc.site/cbrain/share?nodeid=c57c99c26f450e21)