《数学分析》教学视频（宋浩 老师）
基础夯实(不像数分 像微积分的数分……)
数学分析(华东 第五版) 笔记 By三角函数(ZKX)
宋浩老师这个视频比较适合非数学系和复习
一、实数及其性质
实数(Real Number)
数分研究对象 定义在实数集上的函数
有理数与无理数统称为实数
(这本书并没有给出实数是如何被构造的 可去rudin P15学习)
有理数:p/q(p,q属于Z,q不等于0) (证明题常用)
有限小数可以化成无限小数
a₀.a₁a₂ … aₙ=a₀.a₁a₂ … aₙ₋₁99999…
eg:0.999…=1
简要论证:0.999…=Σ(i=1,i<n n->+∞)9*10^(-i)
等比数列可得左式=0.9/(1-0.1)=1
补充:凡能写成十进制小数形式的数叫做实数
对于无限循环小数化成分数求法
eg:0.777… 令x=0.777…
10x-x=7 x=7/9(非严格论证 仅用于快速判断)
0.a₁a₂ … aₙ…(a₁a₂ … aₙ的循环)=(a₁a₂ … aₙ)/(999…9 (共n个9))
规定 0可表示为0.0000…
总结:P1主要关于实数的定义 有理数的定义 以及有限小数与无限小数间可以互相转化(有理数和无理数都能用无限小数表示) 为基础概念性知识
定义1:有两个非负实数,x=a₀.a₁a₂ … aₙ y=b₀.b₁b₂ … bₙ (非负实数比较大小)
1>aₖ=bₖ(k=0,1,2,…,n) 则x=y
2>I.a₀>b₀ x>y
II.aₖ=bₖ(k=0,1,2…,l) aₗ₊₁>bₗ₊₁
对于负数x 则比较-x(x<0 -x>0 运用定义1)
非负实数大于负实数
定义2:x=a₁a₂ … aₙ… 非负实数
n位不足近似 x=a₁a₂ … aₙ
eg:3.1415926535 5位不足近似:3.14159
eg:3.1415926535 2位过剩近似:3.15
定义与非负实数相反
eg:-3.1415926 2位不足近似:-3.15
不足小 过剩大 可以用数轴快速判断
注:不足近似xn 当n增大时不减
eg:1.1220456789…
1位不足近似 1.1
2位不足近似 1.12
3位不足近似 1.122
4位不足近似 1.1220
注:过剩近似xn 当n增大时不增
eg:1.12204…
1位过剩近似 1.2
2位过剩近似 1.13
3位过剩近似 1.123
4位过剩近似 1.1221
注:不足近似与过剩近似都是有理数
x,y属于R x<y 求证:存在r属于Q x<r<y
法一:书P2 x<y
=>∃n∈N x的n位过剩近似<y的n位不足近似(定义1)
令r=(x的n位过剩近似+y的n位不足近似)/2∈Q(注意III)
且x<=x的n位过剩近似<r<y的n位不足近似<=y
=>x<r<y Q.E.D.
常用数集
C={x|x为复数} R={x|x为实数} Q={x|x为有理数}
Z={x|x为整数} N={x|x为自然数} ……
*实数的性质
1.四则运算是封闭的
2.实数集是有序的
3.实数的大小关系具有传递性
4.实数具有Archimedes性
5.实数集具有稠密性
实数的四则运算是封闭的
∀a,b∈R 都有
a+b,a-b,ab,a/b(b≠0)∈R
实数集是有序的
∀a,b∈R 则一定有以下三种关系的一种
a>b或a=b或a<b
有序集的性质 显然实数集也为有序集 故符合
实数的大小具有传递性
∀a,b,c∈R 若a<b,b<c 则a<c
实数的Archimedes性
∀a,b∈R,0<a<b,∃n∈N* 使得na>b
证:(rudin P8)
设A是所有满足na组成的集 则n遍历正整数(A={na|n∈N*,a∈R})
若na>b不成立 即na≤b
则b为A中一个上界 如此R中便有A的最小上界
令η=supA 则因为a>0
η-a<η且η-a不是A的上界 因此对m∈N*
有η-a<ma 如此η<(1+m)a∈A 这是不可能的
因为η是A的上界 故na>b Q.E.D.
实数的稠密性
∀a,b∈R,a≠b,一定∃c∈R,c在a,b之间
c既可以是有理数 也可以是无理数
证明有理数同例1
法二(rudin P8):
我们刚刚证明过实数的Archimedes性:
由x<y得y-x>0 于是我们便可提供n∈N* 满足n(y-x)>1(0<a<b,na>b,n∈N*)
再次应用实数的Archimedes性 可以得到m₁,m₂∈N*
合于m₁>nx,m₂>-nx,便有-m₂<nx<m₁
因此有m∈N*,-m₂≤m≤m₁使得m-1≤nx<m
将这些联立得nx<m≤1+nx<ny
n>0,显然x<m/n<y,而m/n∈Q
Q.E.D.
数轴
任意实数都对应数轴上唯一的一点；反之.数轴上的每一个点也都唯一地代表一个实数
设a,b属于R 证明:若对任何正数ε,有a<b+ε则a<=b
书P3 反证法(广泛运用)
假设结论不成立即a>b
令ε=a-b,则ε>0且a=b+ε
与假设a<b+ε相矛盾 从而必有a<=b Q.E.D.
附录I 实数理论(P263)
二、绝对值与不等式
定义
几何意义:点a到原点的距离(绝对值有关的方程与不等式常用 方便分类讨论和几何方法解决)
实数的绝对值性质
1.|a|=|-a|>=0 当且仅当a=0时有|a|=0
2.-|a|<=a<=|a|
3.|a|<h<=>-h<a<h,|a|<=h<=>-h<=a<=h(h>=0)
4.三角不等式:|a|-|b|<=|a+(-)b|<=|a|+|b|
简证:
性质2 -|a|<=a<=|a|得
-|a|<=a<=|a| -|b|<=b<=|b|
-|a|-|b|<=a+b<=|a|+|b|
性质3 -h<=a<=h(h>0)得
-(|a|+|b|)<=a+b<=|a|+|b|
|a+b|<=|a|+|b| 这里b为-b 则|a-b|<=|a|+|b|
不等式右侧证毕
而|a|=|(a-b)+b|
由刚刚证明的结论可得|a|<=|a-b|+|b|
|a|-|b|<=|a-b|
综上 |a|-|b|<=|a-b|<=|a|+|b| Q.E.D.
5.|ab|=|a||b|
简证:不妨令a<=b(a与b等价)
<1>a>=0 =>b>=0 =>ab>=0
|ab|=ab |a||b|=a•b=ab |ab|=|a||b|(绝对值的定义)
<2>a<=0<=b =>ab<=0
|ab|=-ab |a||b|=(-a)b=-ab |ab|=|a||b|
<3>b<=0 =>a<=0 =>ab>=0
|ab|=ab |a||b|=(-a)(-b)=ab |ab|=|a||b|
三、区间与邻域
{x|a<x<b}=(a,b) a到b的开区间
{x|a<=x<=b}=[a,b] a到b的闭区间
{x|a<=x<b}=[a,b) a到b的左闭右开区间
{x|a<x<=b}=(a,b] a到b的左开右闭区间
以上四种均为有限区间
{x|x>a}=(a,+∞) {x|x>=a}=[a,+∞)
{x|x<a}=(-∞,a) {x|x<=a}=(-∞,a]
R=(-∞,+∞)
以上五种为无限区间
注:a,b属于R,a一定小于b
(符号不好打 直接截图了)
确界原理(极其重要)
上界的定义
下界的定义
有界集必须既有上界也有下界
否则则为无界集(无上界或下界)
注:上界,下界不唯一 确界才唯一
例1
<1>有限区间都是有界集 无限区间都是无界集
<2>若是有限个数是有界集
上确界的定义
最小的上界 符号:η=supS 数集S的上确界为η
下确界的定义
最大的上界 符号:ξ=infS 数集S的下确界为ξ
上确界和下确界统称为确界
例2
例3
确界原理
例4
例5
注:若S无上界 则supS=+∞(非正常上确界)
若S无下界 则infS=-∞(非正常下确界)
eg:supN=+∞ infN=0
显然的基础结论:
<1>supS>=infS
令η=supS,ξ=infS则:
∀x∈S有η>=x
∀x∈S有ξ<=x
所以ξ<=x<=η
即η>=ξ Q.E.D.
<2>supA+supB=sup(A+B) (A+B={x+y|x∈A,y∈B})
∀x∈A x<=supA
∀y∈B y<=supB
所以x+y<=supA+supB (supA+supB是(A+B)上界)
显然sup(A+B)<=supA+supB
对∀ε>0则
supA-ε/2<x’ supB-ε/2<y’
即x’+y’>supA+supB-ε
而x+y<supA+supB
显然supA+supB为A+B的上确界
即supA+supB=sup(A+B) Q.E.D.
<3>infA+infB=inf(A+B)
∀x∈A x>=infA
∀y∈B y>=infB
所以x+y>=infA+infB (infA+infB是(A+B)下界)
显然inf(A+B)>=infA+infB
对∀ε>0则
infA+ε/2>x’ infB+ε/2>y’
即x’+y’<infA+infB+ε
而x+y>infA+infB
显然infA+infB为A+B的下确界
即infA+infB=inf(A+B) Q.E.D.
二、函数及其性质
定义
两个实数集D,M 规则f
∀x∈D 有唯一的y∈M 与之对应
f:D—>M x|—>y
定义域 D
值域 f(D)={y|y=f(x),x∈D}⊆M(M一般为R)
eg:f(x)=eˣ D:R f(D):(0,+∞)
决定函数:D与f
两个函数相等:<1>D相等 <2>f相等
eg:f(x)=x² g(x)=(|x|)² f(x)与g(x)相等
注:不要局限字母
存在域
eg:x^(-1/2) =>(0,+∞)
单值函数:一个x对一个y
多值函数:多个x对一个y
函数的表示方法
<1>解析
f(x)=x
<2>列表
x -2 -1 0 1 2 3
y -2 -1 0 1 2 3
<3>画图 略
函数y=f(x),x∈D 又可以用有序数对集合
G={(x,y)|y=f(x),x∈D}表示
分段函数(符号函数) sgnx
1(x>0)
sgnx=0(x=0)
-1(x<0)
|x|=xsgnx
Dirichlet函数
Riemann函数
函数的四则运算
f x∈D1;g x∈D2 D=D1∩D2≠∅
F(x)=f(x)+g(x),x∈D
G(x)=f(x)-g(x),x∈D
H(x)=f(x)g(x),x∈D
L(x)=f(x)/g(x),x∈D*(除去g(x)=0的x)
若D=空集 则不能进行四则运算
eg:f(x)=sqrt(1-x²) g(x)=sqrt(x²-4)
D1=[-1,1] D2=(-∞,-2]∪[2,+∞) D1∩D2=∅
复合函数
设有函数y=f(u),u∈D u=g(x),x∈E
E*={x|g(x)∈D}∩E≠∅
则y=f(g(x)),x∈E* 或 y=(f ○ y)(x),x∈E*
此为函数f和g的复合函数 f为外函数 g为内函数
u为中间变量
反函数
y=f(x),x∈D <=> x=f⁻¹(y),y∈f(D)
则f,g为反函数
eg:y=2x+1 =>x=1/2y-1/2 =>y=1/2x-1/2
x->y 一一对应
y->x 一一对应
逆函数 逆映射
常见函数及其反函数
反三角函数
sinx&arcsinx 正弦/反正弦
sinx:D=R f(D)=[-1,1] T=2π 奇函数
arcsinx:D=[-1,1] 严格单调递增 奇函数
cosx&arccosx 余弦/反余弦
cosx:D=R f(D)=[-1,1] T=2π 偶函数
arccosx:D=[-1,1] 严格单调递减
tanx&arctanx 正切/反正切
tanx:D={x|x≠π/2+kπ,k∈Z} f(D)=R T=π 奇函数
arctanx:D=R f(D)=(-π/2,π/2) 严格单调递增 奇函数
cotx&arccotx 余切/反余切
cotx
arccotx
secx&arcsecx 正割/反正割
secx
arcsecx
cscx&arccscx 余割/反余割
cscx
arccscx
sinx/cosx=tanx sin²x+cos²x=1
tan(x)cot(x)=1 secx(x)cos(x)=1 csc(x)sin(x)=1
初等函数 elementary function
基本初等函数
<1>y=C (C为常数)
<2>y=x^α (α∈R)
<3>y=a^x (a∈(0,1)∪(1,+∞))
<4>y=logax (a∈(0,1)∪(1,+∞))
<5>y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx y=secx y=cscx
<6> <5>的反函数
这里将<3>中α扩充到实数
初等函数:由基本初等函数进行有限次四则运算与复合而得到的函数
注:符号函数 Riemann函数 Dirichlet函数等不是初等函数
注:|x|是初等函数
<1>|x|=xsgnx 这里看当然不是 但
<2>=|x|=(x²)^(1/2) 是由基本初等函数复合而成
因此|x|是初等函数
有界函数 bounded function
同有界集一样 有界函数定义
已知函数f,D,∃M∈R ∀x∈D |f(x)|<=M
eg:y=sinx sinx∈[-1,1] |sinx|<=1 sinx为有界函数
无界函数:无上界 无下界 无界(同之前无界集定义)
例1
例2
单调函数 monotone function
已知函数f 任意x1,x2属于D x1<x2
<1>f(x1)<=f(x2) 增函数 (与高中定义不同!)
<2>f(x1)<f(x2) 严格增函数
<3>f(x1)>=f(x2) 减函数 (与高中定义不同!)
<4>f(x1)>f(x2) 严格减函数
证明函数单调性方法与高中相同
例:求证y=x^3在R上严格单调递增
任意x1,x2∈R x1<x2 则
x2^3-x1^3=(x2-x1)(x1^2+x^2-x1x2)=1/2(x2-x1)[(x1^2-x2^2)+x1^2+x2^2]>0
即x2^3>x1^3 Q.E.D.
例:求证:y=[x]在R上单调递增
我们先来看下x属于Z的情况
任意x1,x2属于Z x1<x2 则
显然[x1]=x1,[x2]=x2
[x1]<[x2] 接下来让我们把它放缩到两个整数间
任意n属于Z 任意y1,y2属于[n,n+1) y1<y2则
显然n=[y1]=[y2]
故综上[x]在R上单调递增
若f在D上严格单调递增(减) 则f必有f^(-1)且其在f(D)上严格单调递增(减)
证明:(严格单调递增 减同理)
令任意x属于D 有y属于f(D) 则y=f(x)
任意x1,x2属于D,x1<x2 有y1=f(x1) y2=f(x2) y1<y2
那么y属于f(D) x属于D 满足f^(-1):y—>x
则必有f^(-1)(y)=x 由于y1<y2 且 x1<x2
那么f^(-1)在f(D)严格单调递增 Q.E.D.
显然非严格单调增(减)函数,其反函数不一定为单值函数(eg:x^2 1/x 考虑是否连续)
奇偶函数 add even function
重点定义域关于原点对称！！！
奇函数:任意x属于D f(x)=-f(-x) 关于原点对称
偶函数:任意x属于D f(x)=f(-x) 关于y轴对称
