鸡爪定理及其证明

鸡爪定理：

背景：IM,BM,CM,JaM酷似鸡爪。

题干

已知：I为内心，Ja为旁心，M是AI延长线与ABC交于外接圆的点，求证BM=CM=IM=JaM

证明：

∵∠BIM=∠ABI+∠IBA

∵∠IBM=∠IBC+∠CBM=∠IBA+∠CAI（同弧所对的圆周角相等）=∠BIM

∴MI=BM同理，MI=MC

∴MI=MB=MC

∵I,Ja分别是内心和旁心

∴∠IBC=1/2∠ABC

∠MBJa=1/2（180°-∠ABC）

∴∠IBJa=90°

∵I,M,Ja共线

∴BM=1/2IJa=MI=MJa=MC

证毕