I.13补记:根据纯几何结论推导椭圆方程

{"ops":[{"insert":"首先摆出命题13的结论，即对任意一个椭圆，设其长轴上的两个顶点为A，B。于其长轴上取一点M，过M作半弦ML交椭圆于L，交长轴于M，设LM=f，AB=2a，AM(由于对称这里设BM也可以)=t，则有下式成立:\n2af²=pt(2a-t)\ntips:这里的p是一个常数，命题13证明过程中有讲到，后面也会推出求p的方法\n有了这个结论后我们以椭圆中心为坐标原点按照教科书传统方法建系\n设椭圆上任意点P坐标为(x,y)\n首先容易得到f²=y²，然后可以写出\nt=|AM|=x+a，2a-t=|MB|=x-a\n带入可得 2ay²=p(x²-a²)，再把2a除过去\ny²=(p/2a)(x²-a²)，就得到了这样一个椭圆方程方程\n接下来至于这个方程和平常见到的椭圆方程的关系其实就有很多种方法推导了，比如我们知道椭圆第三定义的那个方程是\ny²=(b²/a²)(x²-a²)，等量代换，有\n(p/2a)(x²-a²)=(b²/a²)(x²-a²)\n由此推出p/2a=b²/a²\n然后就可以得出一些结论:\np=2b²/a，p/2a=1-e²\n或者将那个式子继续变形，变成下面这个样子:\nx²/a²+2y²/ap=1，再根据标准方程，得出pa=2b²\n也可以得到上面的结论\n\n补充:原书中的p是通过设p满足BK·KC/AK²=p/2a来设出p这个常数的，这里我们就又可以推出\nBK·KC/AK²=1-e²，现在关注左边的式子，其中A,B,C三点都是圆锥轴三角形(不严谨的说轴三角形即圆锥轴截面的那个三角形)的三个顶点，而K点的构造则与构造圆锥曲线的面(也就是拿来去截圆锥的那个面)的倾斜程度有关。\n也就是说圆锥曲线所在平面与圆锥底面的二面角α决定着1-e²，这也就揭示了对于一个圆锥曲线其离心率e与其α的关系\n下面是附图(命题13的图，和本文关系不算太大):\n"},{"attributes":{"class":"normal-img"},"insert":{"native-image":{"alt":"read-normal-img","url":"https://b1.sanwen.net/b_article/c167d8d8a932b4b01848445249094acbc8a69419.jpg","width":1490,"height":1484,"size":1211080,"status":"loaded"}}},{"insert":"\n"}]}