费曼学习法的实践与运用-1

7.6 

不多赘述，直接输出我今天学的内容——张宇30基础30讲概率论第二讲

  概率论 因随机变量的引入 而成为一门可研究的学科，随机变量 把 随机事件 通过一定的对应法则转换为了实数轴上的数，进而实现了 对随机事件的 数字化和统一化 描述。 说白了就是，对于抛硬币是正面或反面，或者扔骰子点数是2，这些随机事件，我们能用数学的方式来研究它们了。这就是随机变量的重大意义。e.g 抛硬币有正反2个事件，我们可以定义抛到正面，X=1；抛到反面，X=0    这个过程中，我们做到了把 随机事件用数字来表示，并且任何的随机事件都可用这样的方法来处理。 

以下均用大写X表示随机变量，小写x表示一般变量

  接下来通过 随机变量 和 一般变量的对比，来加深对随机变量的理解。 首先在样本空间Ω里的随机事件ω（如抛硬币是正面），它们有一个法则X，使得X=X（ω）。←其中X即为随机变量，可见随机变量是定义在样本空间上，取数于实数轴的。 而一般的函数y=y(x),是定义在实数轴，取数于实数轴。这是它们的第一点不同。

   一般的变量，给定一个x后，就能通过对应法则，求出y。而随机变量也是，给定一个随机事件ω后，通过一个对应法则，也能得出一个X，但和一般变量相比较，它还有一个前提考虑，就是ω是在一定在概率下才会发生的。 赋予到一般变量上解释就类似于 若x=2,则y=4，但x=2这件事情在一定的概率下才会发生的

再举几个例子，加深大家对随机变量X的理解

e.g （n重独立重复试验）投篮投10次，设投中的次数为4，则  P（投篮投中4次）=P（X=4）；这里把 投篮成功k次 这一随机事件 与 X=k 对应起来 

   （泊松分布） 假设 周日晚上7点到9点，英雄联盟 黑色玫瑰大区 进入的人数为10W人，P（7点到9点进入黑色玫瑰的人数为10W）=P（X=10W）  ；这里是把 7点到9点进入黑色玫瑰大区的人数是10W人，这一随机事件  与X=10W 对应起来。

 （几何分布） 假设我玩几何桶的胜率是40%，现在再赢一把就睡觉，假设我打了K把最终才睡，那么P（我一共打了K把才睡觉）=P（X=k）

   由于随机变量都是样本点，不是连续可导的函数，导致我们无法用数学的强有力工具 求导等来研究它的性质。为此我们引入了 分布函数这一概念，目的就是想利用 求导，连续等工具来研究概率这件事。 为此做如下定义，

分布函数F（x）=P{X≤x}  x∈R，也可记为 X~F(x)，称X服从分布F(x)

 ①分布函数是一个事件的概率，这个事件是 随机变量X ≤一个任意的实数x。

②x的取值是（-∞，∞），这个区间对应了概率的区间（0,1） 即F（-∞）=0，F（∞）=1

③F（x）是单调不减函数，且是x的右连续函数

分布函数的应用

   P{X≤a}=F（a）定义

   P{X<a}=F(a-0)  注：这里代表F在a点的左极限

 由于 {X≤a}= X=a ∪X <a,而X=a与X <a互为互斥事件，即X=a，X就不能小于a，X小于a,X就不能等于a。所以由互斥事件的概率性质，

有  P{x=a}=P{x≤a}-P{x<a}=F(a)- F(a-0)（ 代表a点左极限）

 离散型随机变量 和 连续型随机变量的区别与对比