中考数学的一些进阶知识（下）

本文是对下面这篇文章的一些补充，主要给大家介绍一下部分好用的二级结论和定理，部分内容教科书上可能没有，大题慎用（PS.如果你连基础知识都不能很好地掌握的话，看这个基本没用。）

燕尾模型

这个是一个比较常见也很实用的模型，我们可以用分比对其进行证明。

梅涅劳斯定理

这个其实是初中竞赛比较常用的定理，在解决某些问题时有奇效。

我们可以用燕尾模型进行证明

我们发现，将线段比转为三角形面积比之后，分子分母分别可以约分，于是我们就证明了这个神奇的定理。

下面我们来看一道例题

在ΔACD中使用梅涅劳斯定理，可得（CE/EA）·（AB/BD）·（OD/OC）=1，可算出（OD/CD）=2/3，所以ΔABO的面积是ΔABC的面积的2/3（可将ΔABC的面积看成ΔADC与ΔBDC的和），因为AB为定值，∠ACB为90度，所以C点运动轨迹是以AB为直径的圆，显然，当C运动到半圆中点时三角形面积有最大值（底不变，高有最大值），代入即可求得答案8/3。

塞瓦定理

这个问题我们同样可以用燕尾模型证明

这个定理的逆定理也成立(梅涅劳斯定理的逆定理也成立)

利用塞瓦定理逆定理，我们可以解决一些三线共点的问题（运用梅涅劳斯逆定理也可以解决一些三点共线的问题）

三角形的三条高交于一点也可以用塞瓦定理解决

托勒密定理

这也是一个比较常见的定理，主要用来解决四点主要用来解决四点共圆时的边长问题，我们可以通过构建相似三角形来证明这个定理

下面来看两道例題

可以看到∠CAB=∠CEB=60度，这时我们很快就能想到A、C、E、B四点共圆

由托勒密定理可得：AE·BC+BE·AC=AB·CE，又由于ΔABC是等边三角形，两边化简可得AE+BE=CE，即可求得BE=CE-AE=4

点到直线距离公式

点P（x₀，y₀）到直线Ax+By+C=0（这个是高中直线的一般式，而初中的直线一般式 y=kx+b则更多被称为斜截式）的距离为

我们也可以改写为斜截式

下面我们进行证明

仔细观察一下上面这个式子

我们发现这个刚好是点和直线在竖直方向上所截的长度（即下图红线pA）

同时△PAB刚好是一个直角三角形，由于K=tanα，我们可以求出图中这个角度的正弦值为1/（√（1+k²））

二式相乘，命题得证。

下面再给大家介绍两种比较实用的方法

建系法

这个应该是大名鼎鼎了，很多有名的学习区up主应该都讲过这种方法。

这种方法主要是建立坐标系，从而可以引入一些解析几何的结论，对某些几何题有奇效。（而且还可以暴力破解一些比较复杂的几何题）。

用初中的一些解析几何知识，我们可以解决一些有关边长、面积的问题。而当我们引入正切函数的和差公式后，利用直线斜率等于倾斜角的正切这个性质（k=tanа），建系甚至可以解决一些角的问题（特别是要你求某些角的正切、余弦什么的时候）。

具体证明可见我2月4号发的那篇文章或自行百度，此处不做赘述。

下面来看一道例题（不用这个方法会麻烦很多）

如图，可以A为原点分别以AB，AD所在直线为X轴Y轴建立平面直角坐标系。易得直线AC解析式yAC=x。由于E为AD中点，所以tan∠ABE=1/2，由折叠可知∠EBF=∠ABE，可求得tan∠FBA=4/3，所以直线BF解析式yBF=（-4/3）x+（4/3），将BF与AC联立，即可求得点G坐标。再利用两点间距离公式求出CG长度，即可求得答案3/7倍根号2。

  建系的好处在于可以把部分几何问题转换成计算游戏，从而使问题的难度直线降低。但这种方法可能不利于你逻辑思维的培养，而且对计算要求比较高，一个不小心就可能整一道题丢掉。

同一法

同一法与反证法一样，是一种间接证法。它主要是从命题的逆命题入手，当命题本身和它的逆命题都是唯一的事物时，我们就可以通过证明命题的逆命题来证明命题本身。当某个问题用直接证法来证明时，

用同一法证明的一般步骤是: (1)不从已知条件入手,而是作出符合结论特性的图形; (2)证明所作的图形符合已知条件; (3)推证出所作图形与已知为同一图形。

同一法其实曾经也出现在我们的课本上。

如何证明勾股定理的逆定理？

先做出一个直角三角形，然后通过全等证明它与已知三角形是同一图形，完美符合上面的步骤。

一些特别的问题，例如之前所说的两个四点共圆判定也能使用同一法证明，大家有时间可以自己证一下。

以上就是本篇文章的全部内容了。

才疏学浅，如有错漏，敬请指正，不胜感激