角平分线定理

在 ΔABC 中, 点 D 在 BC 上, 且 AD 平分 ∠ BAC, 此时有

这就是角平分线定理.

利用三角形相似, 可以证明该定理的.

我们过 B 作 BE⊥AD 于 E, 过 C 作 CF⊥AD 于 F,

在 ΔBDE 和 Δ CDF 中,

在 ΔAEB 和 ΔAFC 中,

使用正弦定理, 也可以证明该定理, 但是, 它不在初中范围内.

另外, 它的逆定理也是正确的.

在 ΔABC 中, D 是 BC 上的一点, 且满足

则 AD 平分 ∠BAC.

证明过程如下:

作同样的辅助线, BE⊥AD, CF⊥AD,

证明出

对比 ① 和 ② 式, 可知

于是, AD 就平分 ∠BAC 啦.