S402 黄金螺线与向日葵：极坐标、序列、曲线

第四季的第二个任务来了，这次主要复习第二季中的黄金螺线与向日葵。这个题目是当初我是在交互型网站 mathigon 看到这课件（可参考这文章 “数学太抽象了！”这个可操作的互动课本mathigon，会让数学学习有什么不一样？）。我看了这课件才了解，向日葵上花粉点的分布，原来与黄金螺线有关系。当时就想可否用 GGB 来呈现，让自己深入探究。开始动手作后，发觉很简单，只要6行就可以。

学习目标与技能

在这小节，你将知道，等角螺线上的点可用极坐标来表示（t*a; t*theta)。要呈现这个，我们使用了三个方式。一是用点坐标。二是将之连续化为曲线，三是再将他离散化为序列。呈现这个图形后，改变角度参数作探究，也将看到黄金比例与花粉点分布的关系。

在 Geogebra 部分总结为以下个技能点：

1. 用极坐标来表示点

2. 使用 Curve 来呈现曲线

3. 使用 Sequence 来表示点列

学习内容

用极坐标来表示点

在 Geogebra 内，使用  (1, 1.732) 时，表示 xy 坐标的点。而这个点可用极坐标  (r ; θ) 的格式来写为 (2; 60°) 或 (2;pi/3) 。也就是用 ; 时，第一个 r=2 表示到原点距离为 2 ，第二个则是此点与原点连线段与 x 轴正向的夹角 θ=60°。

但要注意，使用极坐标时，预设为弧度。所以用角度时需要加个表示度的小圈 °。或者使用 *pi/180 来转换。 在这视频中，先绕过角度 ° 的输入，而用  *pi/180 的方式。

在这个使用 P=(n*d; n*a) 来表示螺线的第 n 个点，其中包含 d, a 参数。主要是螺线的结构是一边往外跑一边转弯。d 表示每次与原点的距离的增加量，而 a 是角度的增加量。因此，随着 n 的变大，离原点越远，也绕越多圈。

将点的轨迹显示，并用曲线来描述路径

为了将过程显示，可以对点开启【显示踪迹】，这样就会记录过程。虽然 P=(n*d; n*a*pi/180) 可看到随着 n 的变大的，点在往外绕的感觉。但是，每次跳动太大，没什么连续变化的感觉。在这引入 [曲线 Curve] 的指令。

如下图，在曲线的指令分为四个部分，先是点坐标，再来是参数 t, 接着是参数 t 的范围从 1 到 n 。使用曲线时，t 为连续变化，也就是会经过 0.01，0.02，.... ，这样就形成一个连续到曲线形状。(P.S. 用坐标形式输入 Curve 会自动转为 CurveCartesian 。)

当完成后就可看到轨迹是个很像同心圆，但实际是不断外绕的圆形曲线。 使用 Curve 指令就可达到连续变化的效果。

将点列以离散的方式来呈现

若只想保留 n 为整数时所对应的所有点，这时就要用 [序列 sequence]。将 Curve 改为 Sequence 时，就只会留下离散的点。

最终呈现的结果如下：可看到在曲线上往外长的点列。

探究思考

大家可以去调整角度参数 a 来观察图形的变化。例如，下图为 a=60, a=61的情况。当角度不是 360 的因数时，就会呈现螺线状。

对于左旋与右旋的观察也可以比较 a=89, a=91 的情况。当 4 次的旋转角度稍小于 360 时，就会出现落后而造成右旋的情况。

当然在这，就重要的旋转角度就是 360*0.618 = 222.5 ，其中的 0.618 就是黄金比例。在这角度有什么特性呢？这时，每个花粉点的距离是最分散的。实在是配合大自然的设计，也赞叹这黄金比例之美。

相关连接

【GGB】https://www.geogebra.org/m/ha83vpms#material/hknpqgnx

【Bili】https://www.bilibili.com/video/av50700099

【YouTube】 https://www.youtube.com/playlist?list=PLXH05kw-i_5JqugeI121CkeCk4U3vZyC2

【参考】mathigon Sequence Fibonacci https://mathigon.org/course/sequences/fibonacci