S4E21 Python 数列与Pi 的探究（下）

这一节接续上节 S4E15 Python 数列与Pi 的探究（上）的课程来作数列的探究。本节主要学会 for-loop 的回圈，并以计算以下数列作为案例探究：

你将学会

程式语法

1. 使用 for-loop 结构

2. 了解格式化输出

3. 利用 import math 来

4. 利用 import matplot.pyplot 来绘制折线图

数学与思维

1. 了解数列有收敛与发散两种情况

2. 能探究数列收敛的情况

3. 知道 π 的逼近式

使用指引说明

1. 若你是第一次使用，请先参考这以下文章来熟悉 Kesci 的界面

   S4E01 Python入门：Kesci 平台与 Python 基本语法

   S4E07 你可以几次可以猜到答案？

2. 本节课主要接续以下内容，请先完成以下链接的任务。

   S4E15 Python 数列与Pi 的探究（上）

3. 当熟悉kesci基本操作后可打开如下链接，点选 Fork 进入学习

   https://www.kesci.com/home/project/5df4ebc42823a10036abd20a

4. 关于本次课程的视频如下：

5. 本节课主要接续以下内容，请先完成以下的任务：

内容摘要

3 用 for-loop 回圈

在前一节用 list 的 for 结构：[k for k in range(10)] 来制造计算等差数列，但如果数列的结构更复杂一些，这一层的 list 表示式就不太方便。这时就需要引入for-loop 回圈的结构来计算下列三角垛的数量。

通过以下代码，在第4行，会显示第 i 层三角数的数量。并通过第 5 行的 sum += 来累计数量，通过一次 for 回圈，就可取得n层三角垜的总数。

ans = 0

n = 10for i in range(1,n+1):    

print(i, sum([k for k in range(1,i+1)]))    

ans += sum([k for k in range(1,i+1)])print(ans)

比较有趣的是对上述的数量，其总和有个一般式的计算式。而其结果还可类推到 n 维空间的三角垜。

4.import math 与 pi 的探究

在此节主要引入数学函式库 import math 来观察验证一些知名数列的收敛与发散的情况。例如，以下这个调和数列，虽然此数列是发散，但这数列 n 项的总和与 log(n) 是很接近的。我们可通过以下代码，来观察在不同 n 值下，其趋近的关系。

对于调和数列，若将分母都改为平方，此时这个数列就会收敛。而其收敛值与 π 竟然有关。

对于π的近似值，Leibniz 的近似公式也相当有名。用奇数的调和交错数列的和竟然也与 π有些关联。

在先前的数列都是以累加的形式出现，下面这个沃利斯在 1665 年发现也可以用连乘积的方式来得到 π 的近似值。而对于这个数列近似值的计算方式就与上面连加的形式不同，而是用递回的方式来实现。

此外可配合 matplotlib.pyplot 来将数列近似的结果用折线图来绘制，可更具象化的观察到其收敛的情况。

除了上述提到的数列的探究，也欢迎交流一些有趣的数列来用 forloop 探究的心得。

参考资料

【Kesci】https://www.kesci.com/home/project/5df4ebc42823a10036abd20a

【Bili】https://www.bilibili.com/video/av79295583