【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep37】数列性质第一波攻势~

平心而论，b站上面质量好的网课很多，其中《高等数学》方面质量最详实，条理最清晰的非汤家凤老师的视频莫属了，喜欢难题的或大量习题的宝贝们，出门左转，陈文灯和吉米多维奇走起不谢！

这里我们先借用汤老师的思路对收敛数列——有有限极限的数列的性质进行分类，汤老师把收敛数列的性质分了三大类——

1. 基本性质——就是我们直接从数列极限定义可以推理出来的性质；

2. 运算性质——我们意识到数列的本质是一种特殊的运算，既然每一个收敛数列对应一个确定的数字，那么我们自然会想到数列能不能进行实数的加减乘除等运算；

   有没有发现，仿佛收敛数列也可以定义实数？——没错，这就是柯西定义实数的思路，将极限相同的数列视为一类，然后每一类数列就与实数实现了一一对应；

   所以，收敛数列的运算性质，也可以看作是对实数这个定义合理性的验证；

3. 存在性质——又叫做数列收敛的判别法，就是判断数列收敛的依据。

有的书上会把这三种性质放在一起，一节处理掉，比如大多数《数学分析》的课本，有的则会分成三节，分别讲完，比如《高等数学》的课本，菲书上也是分为三节的；

一般来说，数列基本性质会介绍——局部保号性，有界性，唯一性，菲书也是。

今天我们来介绍菲书上数列性质的第一类：数列的基本性质——

26关于有极限的整序变量（收敛数列）的一些定理——

书上先介绍了一个引理——（引理是指，用来证明某个定理的预备性定理，或者说，“引出定理的定理”的简称）

这个引理来自于，数列极限的定义与实数的稠密性——

1. 数列极限的定义——对任意小数e>0，存在一个自然数N，使得n>N时，|an-a|<e，就称a为an的极限。
   

2. 实数的稠密性——对于任意实数a<b，存在实数m，使得a<m<b。

3. 常用符号max｛a，b｝——意思是，取a，b中的最大值；类似的min ｛a，b｝——取a，b中的最小值。
   

我们直接开始从这些内容推理——

1. 由，对任意小数e>0，存在一个自然数N，使得n>N时，|an-a|<e，得到-e<an-a<e，即a-e<an<a+e；——e可以任意小很重要，我们只要能解得e<……的一个形式即可；

2. 由1可知，对于任意一个a>p，都存在an>a-e>p，我们只要使e<a-p，总可以找到对应的N满足条件；

3. 由1可知，对于任意一个a<q，都存在an<a+e'<q，我们只要使e'<q-a，总可以找到对应的N满足条件。

即定理1——（前三条定理可以看作一个系列）

由定理1推出来定理2：即局部保号性——

这个书上当成是定理1的推论，或者，可以把定理1当作定理2的引理——

1. 定理1中我们取p=0，即可得到，对于极限a>0的数列{an}，总可以找到N，使得n>N时，an>0；

2. 定理1中我们取q=0，即可得到，对于极限a<0的数列{an}，总可以找到N'，使得n>N'时，an<0。

定理3可以看作定理2和实数稠密性自然得到的推论——

定理2可以简述为，一个数列极限不为0，则这个数列从某一项之后都不为0，直接做数学语言的翻译——

1. 数列｛an｝的极限a>0，总可以找到N'，使得n>N'时，an>0；

2. 数列｛an｝的极限a<0，总可以找到N''，使得n>N''时，an<0；

3. 结合1、2，得到数列｛an｝的极限不为0，总可以找到N，使得n>N时，|an|>0：

4. 由3和实数稠密性，则总可以找到实数r，使得|an|>r>0。

定理4则是收敛数列的另一个重要性质：有界性——

这个性质的证明则要分类讨论——

我们先复述收敛数列的定义——数列极限的定义——对任意小数e>0，存在一个自然数N，使得n>N时，|an-a|<e，就称a为an的极限。

以N为分界线进行讨论——

1. 当n>N时，|an-a|<e，a-e<an<a+e，|an|<max{|a-e|，|a+e|}，显然对于这一部分的an组成的数集，是有界的；

2. 当n<=N时，我们将这N个数字组成一个有限集合｛a1，a2，……，aN｝，这个集合的元素数量最多为N，比如说每个数各不相同，最少为1，比如说这几项数字一样，这些数必然有最大数和最小数，那么这些数字必然满足关系min｛a1，a2，……，aN｝<=an<=max｛a1，a2，……，aN｝，|an|<=max｛|min｛a1，a2，……，aN｝|，|max｛a1，a2，……，aN｝|｝也有界；

3. 结合1、2，对任意n，都满足|an|<=max｛|a-e|，|a+e|，|min｛a1，a2，……，aN｝|，|max｛a1，a2，……，aN｝|｝，即收敛数列｛an｝构成的集合有界。

书上接着对这条性质做出了两点说明——

说明1——是有界数集的另一种表述方式，我们来证明这两种方式等价——

1. 对于有界数集A中的任意元素a，满足p<=a<=q，则|a|<=max｛|p|，|q|｝=M；

2. 对于有界数集A中的任意元素a，|a|<=M，则-M<=a<=M，令p=-M，q=M即可；

3. 由1、2可知这两种定义等价，在表达有界数集时，你可以直接给出上下界，你也可以给出绝对值的上界即可，显然给绝对值这种方式更方便，我们也会更常用。

说明2——则是说明了，数列的有界性是数列收敛的必要非充分条件，即“收敛数列必有界，有界数列不一定收敛”——但是，学到后面就知道，数列的有界性非常好用，所以也是一个重要的性质——

例子——数列an=（-1）^n，就是一个有界数列，显然|an|<=1，但是并不收敛。

伏笔——但是，这为后面我们聊到“子列”，以及“用级数构造级数”等内容提供了启示——拭目以待！

定理5就是我们所说的，收敛数列的最后一条性质——唯一性——

书上用反证法，其实也可以用我们之前学过的那个关于“极限意义下的相等”的命题来证——

1. 假如数列存在不同的两个极限a<b；

2. 由实数稠密性，存在实数r，使得a<r<b；

3. 我们由定理1和2中不等式的左边可知，存在自然数N'，使得n>N'的时候，an<r；

4. 我们由定理1和2中不等式的右边可知，存在自然数N''，使得n>N''的时候，an>r；

5. 我们取N=max｛N'，N''｝，an<r且an>r，由实数的三歧性，导出矛盾，即极限必唯一。

居然打了这么多字，难怪用了三个多小时，我们明天不见不散哦！