为什么三角形的内角和是180°

        要知道为什么三角形的内角和是180°，我们必须加以证明。

        证：

        方法1：在等腰△ABC的腰AB和AC上分别取中点D和中点E。根据两直线平行，同位角相等的定理，得知∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，根据相似三角形的判定方法，如果小等腰三角形的底边平分大等腰三角形的两条腰，那么有在△ADE和△ABC中，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，得知每对同位角都对应于相似三角形的对应角，即等量代换，∠A=∠A，这样就得证了三角形的内角和是180°。如图1所示。

        方法2：点A向右延长至点D并连且使AD平行且相等于BC，连DC。此时构成平行四边形ABCD，∵平行四边形对边平行且相等，对角相等，同时平行四边形ABCD包含△ABC和△ADC，又∵在△ABC和△ADC中，AB平行且相等于DC，∠B=∠D，BD平行且相等于DA，∴△ABD≌ADC，又∵平行四边形的对角线把对角平分，且平行四边形的内角和是360°，360°÷2=180°。得证。如图2所示。

        方法3：点B向右下方做延长线BD且与AB相等，连CD，AD交BC于点E，∵在△AEB和△AEC中，AE=AE，∠AEB=∠AEC，∴△AEB≌△AEC，∴点E被BC和AD平分，∴四边形ABDC是菱形，菱形每个角都是直角，BC又是菱形ABDC的对角线，∴∠A=90°，∠ABC=∠ACB=90°÷2=45°，90°+45°+45°=180°，是△ABC内角和的计算，由菱形的性质对此得证。如图3所示。

        方法4：在点A做AC的反向延长线且相等的AD，作BA的反向延长线且相等的AE，并连DE。根据两直线平行，内错角相等的定理，得知∠A=∠B，∠E=∠B，再根据对顶角相等的定理得知∠DAE=∠BAC，从而使△ADE的每个角对△ABC进行等量代换，对结论得证。如图4所示。