对欧拉恒等式严谨性的说明
序言
我脑海里想着这位十八世纪最伟大的数学家，雷奥哈德尔‧欧拉。我虽然对他一无所知，但手拿这个公式，我觉得自己可以感受到他的体温。他从这些看似毫无关系的数字中，发现了彼此之间自然的关联：
永无止境地循环下去的数字，和让人难以捉摸的虚数画出简洁的轨迹，在某一点落地。虽然没有圆的出现，但来自宇宙的
飘然地来到
的身旁，和害羞的
握着手。他们的身体紧紧地靠在一起，屏住呼吸，但有人加了
以后，世界就毫无预警地发生了巨大的变化。一却都归于
。
欧拉公式就像是暗夜中闪现的一道流星；也像是刻在漆黑的洞窟里的一行诗句。我被这个公式的美深深地打动了。
走下图书馆的楼梯时，我回头看了一下，数学书籍区仍然没有一个人影，一片寂静，没有人知道那里隐藏着多么美的事物。
——小川洋子《博士热爱的算式》
一 一个重要极限的证明
我之前写过一篇专栏——【专栏】欧拉公式exp(iπ)+1=0的7种“另类”证明，用于驳斥数学虚无主义者对欧拉恒等式的态度，然而由于我前期没有对这些虚无主义者做足准备工作，因此还是让这些虚无主义者挑到了刺。其中一个关键的问题，就是如何证明这个等价无穷小变换公式成立：
箭头右边其实是左边函数的幂级数展开的前两项。事实上，任何函数都可以用幂级数表示，包括不连续函数，这一点我会在后面说明。
你也许会问了：有时候，并不是只有整数次项，例如，如果只考虑0、1次项，这个半次项会被忽略，因此这些算法计算出来的结果未必可信。其实，这类担心duck不必：
显然，如果计算前没有事先考虑到半次项的存在，计算结果绝对会出大问题。这类计算方法，其实就是想用0次项表示非无穷小部分，用1次项表示无穷小部分。因此只要1次项有意义，结果就是可信的。
那么，下面我们就来证明吧！在证明过程中，为了保证严谨性，我不会改变乘方的原始定义——，以免虚无主义者又说这是我主观定义出来的结果。
那么问题来了，恒成立吗？
根据定义，我们可以将表示为：
我们也可以把表示为：
循环内的赋值不会改变变量“1的x次幂”的值，因此可以删去。这样，“重复执行x次”就成了空循环，也应该删去。简化后的程序如下：
那么显然恒成立！
此时结果已经很明朗了：
至于负个（次）数、复个（次）数在日常生活中的意义，我们在第三节讨论。
二 欧拉公式的证明
参考资料：
【2】欧拉公式的多种证法（https://wenku.baidu.com/view/e32ff5047fd5360cbb1adb01.html）
由棣莫弗定理，得
三 复个（次）数在日常生活中的意义
参考资料：
【1】https://baike.baidu.com/item/闵可夫斯基空间
【2】从一到无穷大：科学中的事实和和臆测/【美】G.伽莫夫（Gamov，G.）著；暴永宁译.——修订版.——北京；科学出版社，2002（第66页）
【3】文盲正侃时间史、刘继军著.——南京：江苏人民出版社，2013.1（第262页）
【4】寻找薛定谔的猫/（英）格里宾著；张广才等译.——海口；海南出版社，2015.6（第103页）
此时，想必大家还对复个数没有概念，那么请大家思考一个问题：
问：如果一把尺子的长度有光秒（大约为地月距离），请问
把这样的尺子首尾相连，一共有多长？
答：首先我们要明确，一把光秒长的尺子，长度如下：
根据闵可夫斯基时空的距离公式（是空间坐标分量，
是时间坐标分量）：
令，则
。
再令，则
因此，我们知道，与
等长，那么显然
把这样的尺子首尾相连，长度如下：
这个结果也够让你震惊一辈子了——把
光秒的、望不见尾的尺子首尾相连，一共仅有短短的
？！
你也许又会问了：把尺子的存在都是扯淡，谈何
把？
也许把尺子真的不存在吧，但至少我知道，反电子在量子力学中可以被当成负数个电子处理的，因此负数真的可以作为个数的！
那么复次数呢？其实也很好理解：
此时有没有可能是复数呢？绝对有可能！例如
就是一个最基本的例子。如果不承认这种可能性，无异于不承认复数。问题是闵氏时空必须要用复数来解释！复数是不可或缺的！
但这有个问题了——我们的一些同学，可能连负次数都没听说过，这时候要是讲复次数，可能会使他们因熬夜思考而猝死。那我就不得不先提一下负次数的概念了。首先，上过小学的人都知道，0除了代表没有，还可以代表起点（原点）。这样，0前面还有次数，那可是再正常不过的事了。
四 不连续函数也能用幂级数表示？
事实上，任何函数都可以用幂级数表示，包括不连续函数。例如以下函数：
当设置条件时，函数长这样：
当设置条件时，函数长这样：
当设置条件时，函数长这样：
当设置条件时，函数长这样：
当不限制的大小后，这个函数就变成了一个周期不连续函数，就像长城一样。然而它却是用幂级数定义的！注意：此处不能使用黎曼
函数进行计算，因为这样你只能得到
！（尽管
可导的时候确实为
，再求积分回去也确实是个常数）
重要的事情说三遍：
小伙伴们看完，一定要三连关注哟~
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