分式代数式求值，已知x/(x²−3x+1)=1，求4x−1/(x⁴−9x²+1)

题一、
已知x/(x²−3x+1)=1，求4x−1/(x⁴−9x²+1)

分析题目
分析题目，已知的一元分式代数式，值为1，所求分式代数式最高次为四次，这种题目我们常规思路必然是建立合适的降幂等式来解题，哪种降幂等式合适呢，那我们先把可能的降幂等式都列出来，然后通过分析所求看具体需要哪个降幂等式，据此我们首先来分析已知，

考虑到X不可能为0，直接倒转分子分母即得到，
(x²−3x+1)/x=1

拆分分子后得到，
x−3+1/x=1

将常数4移到等号右边，得到，
x+1/x=4

这样我们得到一个X自倒数和的降幂等式，接着我们继续转换已知条件，直接去分母后得到，
(x²−3x+1)=x

移项后得到x²=4x−1，这样我们得到一个二次与一次等价的降幂等式，据此我们来求解所求的代数式，即，
(4x−1)/(x⁴−9x²+1)

可以看出分子是否逆向操作直接升次为二次，因为它何我们刚才建立的降幂等式完全一致，升次后，刚好可以分子分母同时除以X方，直接可以构造分母的X方自倒数何出来，完美的思路，据此，我们直接对分子升次得到，
(4x−1)/(x⁴−9x²+1)=x²/(x⁴−9x²+1)

然后分子分母同时除以X方，得到，
(4x−1)/(x⁴−9x²+1)=1/x²−9+1/x²

可以看出分母有一个X方的自倒数和，那我们利用自倒数和的特性，直接凑X自倒数和的完全平方式，即得到，
(4x−1)/(x⁴−9x²+1)=1/(x+1/x)²−2−9

则代入我们刚开始求得的x自倒数和的值4，即得到，
(4x−1)/(x⁴−9x²+1)=1/4²−2−9

最后算得
(4x−1)/(x⁴−9x²+1)=1/5

参考答案