拉格朗日插值法（高中可看）

我们上初三时都学过这样的问题：

“有一个二次函数的图像经过点（0,0），（-1，-1），（1,9）三点，求它的解析式”

        再简单不过了！只需设二次函数的解析式为y=ax^2+bx+c。再将这三点的坐标带入得到一个关于a,b,c的三元一次方程组，由它解出a,b,c就得到了解析式的结果。

       你可能还会想，如果是三次函数y=ax^3+bx^+cx+d，并给出了它经过的四个点，那同样可以用类似的方法求出解析式，没错，不仅如此，这种名为“待定系数法”的方法还可以推广到更一般的问题：求经过（n+1）个点的n次函数的解析式，解法也是类似的。

       然而，这种方法是有缺陷的，我们要想求出各项系数，就必须解一个(n+1)元的线性方程，次数少还好说，次数越大解起来越复杂。那有没有一种能够跳过这繁琐过程，直接一步到位的方法呢？

       有！这就是我们今天的主角——拉格朗日插值法。我们将从最简单的二次函数说起，带你了解这种方法。

       我们先把问题用代数语言重新叙述一下：二次函数y=ax^2+bx+c,当x=m时y=n，x=p时y=q

x=r时y=s(相当于图像经过点(m,n)，(p,q)，(r,s)）求次函数解析式。那你想想，不用待定系数法能直接求出解析式吗？想想。

       emm，是不是毫无头绪啊，为什么呢？因为一次要同时处理三个点，不太容易想。那能不能把三个点的问题分解成三个关于一个点的小问题呢？当年大数学家拉格朗日提出了一种分解法，解决了这个问题，让我们看看他是怎么做的。

       拉格朗日设二次函数f(x)=n*g(x)+q*h(x)+s*e(x)，其中g(x),h(x),e(x)(以下简称g,h,e)都是二次函数，且满足：

   当x=m时，g=1,h=e=0

       x=p 时，g=e=0，h=1

       x= r 时， g=h=0, e=1

      也就是x等于几，对应的函数值就为1，其余两个取0。可以验证，这样的函数就满足我们一开始的要求。那怎么求这三个特殊函数的表达式呢，这里我们直接给出结论。

g(x)=(x-p)(x-r)/(m-p)(m-r)

h(x)=(x-m)(x-r)/(p-m)(p-r)

e(x)=(x-m)(x-p)/(r-m)(r-p)

        这样我们就通过将f(x)分解成三个小函数的方式解决了上述问题，同样的类似方法还可以推广到n次多项式的问题，这里就不多说了，有兴趣的同学可以查阅一下资料。好，本期专栏结束，最后给大家看一个我用软件desmos做的示例，有兴趣的可以试一下。

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