【数学基础26】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. 数列lim n^（1/n）=1，lim a^（1/n）=1，a>0；

2. 收敛数列{an}极限为a，则an=a+ɑn，其中{ɑn}为一个无穷小；

3. 收敛数列必有界；

4. 有限个无穷小的和还是无穷小；

5. 有界数列乘以无穷小的积还是无穷小；

6. 设lim an=a，则lim（a1+a2+……+an）/n=a；

7. 设lim an=a，lim（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）=a；

8. 设lim（a1+a2+……+an）=A，lim（a1+2a2+……+nan）/n=0；

9. 设lim（a1+a2+……+an）=A，lim（n！a1*a2*……*an）^（1/n）=0.

10. 定比分点：在线段P1P2上求一点P，使得由P分成的两个有向线段P1P与PP2的量的比为定数λ（λ不为-1），即P1P/PP2=λ，则P为线段P1P2以λ为定比的分点，且OP=（OP1+λOP2）/（1+λ）——定比分点公式。
    

11. 矩阵乘法运算律——

    a.结合律：（AB）C=A（BC）

    b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

    c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

    d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A

    e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

    f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。

12. 矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。

13. 矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；

14. 设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

15. A的伴随矩阵A*满足：A*=|A|A^（-1）

16. E（i，j）为单位矩阵i，j行对调——
    

    方阵A可逆，A对调i，j行成B矩阵：B=E（i，j）A

    方阵A可逆，A对调i，j列成B矩阵：B=AE（i，j）

17. 矩阵的转置：把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记作A'；

18. 定义：设A为方阵，若A'=A，则称A为对称矩阵，若A'=-A，则称A为反对称矩阵。

19. 矩阵转置运算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

参考资料：

1. 《数学分析习题演练》（周民强 编著）

2. 《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）

3. 《高等代数——大学高等代数课程创新教材》（丘维声 著）

数学分析——

例题（来自《数学分析习题演练（周民强 编著）》）——

试求下列数列（和式）{an}的极限lim an：

a.an=1/（n^2+1）^（1/2）+1/（n^2+2）^（1/2）+……+1/（n^2+n）^（1/2）；

b.an=1/（n+1）^（1/1）+1/（n^2+1）^（1/2）+……+1/（n^n+1）^（1/n）.

解：

a.

1. n/（n^2+n）^（1/2）<=an<=n/（n^2+1）^（1/2）；

2. lim n/（n^2+n）^（1/2）=lim 1/（1+1/n）^（1/2）=1；

3. lim  n/（n^2+1）^（1/2）=lim 1/（1+1/n^2）^（1/2）=1；

4. 由夹逼原理：lim an=1.

b.

1. （n+1）=[（n+1）^k]^（1/k）

   =[n^k+n*n^（k-1）+（n-1）n*n^（k-2）/2+……+1]^（1/k）

   >=（n^k+1）^（1/k）；

2. （n^k+1）^（1/k）=n*（1+1/n^k）^（1/k）>=n；

3. n/（n+1） <=an<=n/n=1；

4. lim n/（n+1）=lim 1/（1+1/n）=1；

5. 由夹逼原理：lim an=1.

解析几何——

例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——

互不重合的三点A，B，C共线的充要条件是存在三个均不为零的数l，m，n，使

lA+mB+nC=0，l+m+n=0.

证：

必要性——

1. 设A，B，C三点共线.则存在实数λ，AB=λAC；

2. 对空间任意一点O，则（OB-OA）=λ（OC-OA），λ不为0,1；

3. 由2：（λ-1）OA+OB-λOC=0，令l=λ-1，m=1，n=-λ，则有l+m+n=0，l，m，n均不为0.

充分性——

1. 存在三个均不为零的数l，m，n，使

   lA+mB+nC=0，l+m+n=0；

2. 由1：l=-（m+n），则-（m+n）A+mB+nC=0，m（B-A）+n（C-A）=0，AB=-n/mAC，所以AB//AC，所以A，B，C三点共线。

高等代数——

例题（来自《高等代数——大学高等代数课程创新教材（丘维声 著）》）——

证明：

a.如果A与B都是n级斜对称矩阵，那么AB-BA也是斜对称矩阵。

b.对于任一sxn矩阵A，都有AA'，A'A是对称矩阵。

证：

a.

1. （AB-BA）'=（AB）'-（BA）'=B'A'-A'B'=（-B）（-A）-（-A）（-B）=BA-AB=-（AB-BA），证毕。

b.

1. （AA'）'=（A'）'A'=AA'；

2. （A'A）'=A'（A'）'=A'A；

3. 因此AA'，A'A都是对称矩阵。

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