视频BV1tV411b7QJ题16.解析
令f（x）＝1/x²-log（n+1）（x^n)-（n²+3n）
n∈Z*
1＞0
即n²+3n+1＞n²+3n
即（n+1）²+n＞n²+3n
即（n+1）²-nlog（n+1）（1/（n+1)）＞n²+3n
即1/（1/（n+1）²)-log（n+1）（1/（n+1)^n）
-（n²+3n)＞0
即f（1/（n+1)）＞0
log（n+1）（n）＜1
即log（n+1）（n）＜3
即n²+nlog（n+1）（n）＜n²+3n
即n²-nlog（n+1）（1/n）＜n²+3n
即1/（1/n)²-log（n+1）（1/n）^n-（n²+3n)
＜0
即f（1/n）＜0
又f（x）单减且连续
即函数有唯一零点xn
且1/（n+1）＜xn＜1/n
即n/2＜1/（2xn)＜（n+1）/2
即an=n/2（n为偶数）
an=（n-1）/2（n为奇数）
即a（2n）=n
a（2n-1）=n-1
即a（2n-1）+a（2n）=2n-1，n∈N*
即数列{a（2n-1）+a（2n）}
为首项为1
公差为2的等差数列
令其前n项和为Tn
有Tn=n²
即原式
=√T（1010)=1010
