【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第一章一元一次方程和可以化为一元一次方程的分式方程

§1-1等式

【01】在代数第一册里，我们已经学过代数式。我们知道，用运算符号把由数字或者字母表示的数连结起来所得的式子，叫做代数式。例如， 等。我们还知道，单独的一个用数字或者字母表示的数，例如，x，a，3，5.4 等，也可以看做是代数式。

【02】用等号连结两个代数式所成的式子，叫做等式。例如，m＋2m＝3m；；(a＋b)(a－b)＝a²－b²；a³＋b³＝(a＋b)(a²－ab＋b²)；x－5＝8；x²＝9 等都是等式。

【03】在等式里，等号左边的代数式，叫做左边；等号右边的代数式，叫做右边。例如，在等式 m＋2m＝3m 里，左边是 m＋2m，右边是 3m  。

【04】我们来看上面的几个等式。在等式 m＋2m＝3m 里，不论 m 等于任何数值，左边和右边的值总是相等的。

【05】等式 (a＋b)(a－b)＝a²－b² 是代数第一册里已经学过的乘法公式，它是多项式乘法的结果，不论 a 和 b 等于任何数值，左边和右边的值总是相等的。例如，当 a＝，b＝0 时，左边等于，右边也等于  。

【06】等式 a³＋b³＝(a＋b)(a²－ab＋b²) 是因式分解中常用的一个立方和公式，不论 a 和 b 等于任何数值，左边和右边的值也总是相等的。

【07】等式 ，这是根据分式的基本性质，从约分所得的结果。当 x＝0 时，分母 2x 等于 0，分式没有意义，所以 x 的数值不允许等于0  。但是除了 x＝0 时分式没有意义以外，不论 x 等于其他任何数值，左边的值总是等于右边的值。

【08】这就是说，在上面的四个等式里，不论用任何允许取的数值代替其中的字母，等式总是成立的。

【09】一个等式，不论用任何允许取的数值代替其中的字母，它的左右两边的值总是相等的，这样的等式叫做恒等式。例如，上面所讲的四个等式都是恒等式。

【10】由数字组成的等式，也都是恒等式。例如，下面这些等式，都是恒等式：－(7－2)＝－7＋2；(－2)³＝－8；3²＋4²＝5²；(7＋3×2－3)÷2＝4＋1  。

【11】我们再来看等式 x－5＝8 和 x²＝9  。在等式 x－5＝8 里，x 并不是可以取任何数值都能使左右两边的值相等。例如，当 x＝1 时，左边等于－4，而右边等于 8，两边的值就不相等。所以 x－5＝8虽然是等式，但不是恒等式。

【12】同样，在等式 x²＝9 里，x 也不是可以取任何数值都能使等式成立。例如，当 x＝－5 时，左边等于 25，而右边等于 9，两边的值就不相等，所以 x²＝9 也不是恒等式。

例.判别下列等式是不是恒等式：(1) (a＋b)³＝a³＋3a²b＋3ab²＋b³；(2) 2x＋5＝3x－1  。

【解】

        (1) 因为不论 a 和 b 等于任何数值，左右两边的值总相等。所以 (a＋b)³＝a³＋3a²b＋3ab²＋b³ 是恒等式。

        (2) 因为 x 并不是取任何数值都能使左右两边的值相等，例如，当 x＝5 时，左边等于 15，而右边等于 14，两边的值就不相等。所以 2x＋5＝3x－1 不是恒等式。

习题1-1

1、等式和代数式有什么区别？举两个例子来说明。

2、什么叫做恒等式？举两个例子。

3、指出下列等式中，哪些是恒等式？哪些不是恒等式？

(1) 4＋7＝11；

(2) x＋7＝11；

(3) 3x－5＝－2；

(4)－(x－4)＝4－x；

(5) (a－b)²＝a²－2ab＋b²；

(6) x²＝x·x；

(7) (a－b)³＝a³－3a²b＋3ab²－b³；

(8) x²＝2x；

(9) 9－2x＝x－6；

(10) 3x－y＝1；

(11) x＋y＝y＋x；

(12) x²＋y＝x＋y²；

(13) (x－2)(x＋1)＝x²－x－2；

(14) (x－2)(x＋1)＝0；

(15) x³－y³＝(x－y)(x²＋xy＋y²)；

(16) x³－y³＝1  。

【(1)、(4)、(5)、(6)、(7)、(11)、(13)、(15)是恒等式；(2)、(3)、(8)、(9)、(10)、(12)、(14)、(16)不是恒等式】