维数与Euclidean 空间 R^n

定理  dimR^n=IndR^n=indR^n≤n，dimS^n=IndS^n=indS^n≤n。

定理  对任意的n∈N，我们有

indI^n=IndI^n=dimI^n=n   indR^n=IndR^n=dimR^n=n  indS^n=IndS^n=dimS^n=n

推论  对任意的不同自然数n,m,R^n和R^m不同胚。

定理 对任意的度量空间X，有dim(X×I）=dimX+!

定理   设C是R^n空间的凸闭子集，X是正规空间，A是X的闭子空间，则任意的连续函数f；A→C都可连续扩张到X上。

定理  设X是正规空间，A是X的闭子空间，f；A→S^n是连续映射，则f可连续扩张到一个包含A的开集上。

推论  Brouk 同伦扩张定理     设X是正规空间且X×I也是正规空间，A是X的闭集，n=1,2,…,H;(A×I）∪（X×{0}）→S^n连续，则存在连续扩张H；X×I→S^n。

定理 设 n=0,1,2,,…X是度量空间，则下面条件等价；

(a)  dimX≤n；

(b)  对任意的K≥n，对任意的闭集A⊂X及任意的连续映射 f ；A→S^k都存在到X上的连续扩张；

(c)  对任意的闭集A⊂X，任意的连续映射 f ；A→S^n都存在到X上的连续扩张。