度量空间的维数 2

我们考虑乘积空间的维数。

定理  设X，Y是度量空间，则 Ind(X×Y）≤IndX+IndY  ，  ind（X×Y）≤indX+indY。

定理  设X是度量空间且dimX≤n，则存在可完备度量空间 X*使得X可作为稠密子集嵌入到X*中且dimX*≤n。

上述定理 并不是说每个度量空间的完备化的维数等于这个度量空间的维数。事实上，这个结论并不成立，例如，有理数空间Q的维数是0，但它的完备化实数空间R的维数1。

为了证明紧化定理，我们先证明一个引理。

引理   设X是可分可度量化空间，则X存在完全有界的相容度量。

定理  设X可分可度量化空间且dimX≤n，则存在X的一个可度量化的紧化γX 使得dimγX≤n