用平面方程速解2023佛山数学二模立体几何题

以下是2023佛山数学二模立体几何题：

以下为铺垫内容：

几何法不是非常直观能够一眼看出答案，所以不考虑。这个题咋一看非常好建系，且每个点的坐标都轻松可得。但两问分别求的是平面与立方体的截线，即平面的延长部分与平面的交线或者交点。这在高中立体几何所教的有限的范围内是非常不直观的。需要在棱PD上设交点的坐标，然后证明交点的坐标在截平面上。这其中的逻辑思维就非常不连贯，不好设也不好证。用平面截立方体求交线、交点，最直接的就是如果能有方程联立起来解出(x,y,z)的坐标，即可说明这个点自然就在平面上，即为待求的点。这种方法就不证自明了，不需要额外证明一个点在一个平面上。

下面先介绍平面的点法式方程：

假设某平面上任意一点P为(x0,y0,z0)，同时平面有一条法向量n=(x1,y1,z1)。则显然平面上任意一点(x,y,z)到点P的向量(x-x0,y-y0,z-z0)必定与法向量n垂直。根据空间向量垂直的定义可得：

(x-x0,y-y0,z-z0)·(x1,y1,z1)=0

展开得：(x-x0)x1+(y-y0)y1+(z-z0)z1=0

这就是平面的点法式方程。继续展开发现x1*x+y1*y+z1*z=x0*x1+y0*y1+z0*z1。由于x0,y0,z0,x1,y1,z1均为已知量，所以以上方程等价于A*x+B*y+C*z=D的线性形式（ABCD均可为0，但ABC不可同时为0）。所以任何三元一次线性方程都对应三维空间中的一个平面。三个不互相平行的平面交于一点的坐标就是联立起来的三元一次方程组的解。而空间中直线的方程其实就是该直线所在的任意两个平面联立所构成的不定方程组，而这个不定方程组的无穷多组解构成了两平面的交线，即该直线。

以下为解答：

以A为原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴正半轴，建立空间直角坐标系。则：
A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)
E为PC中点：(0+2,0+2,2+0)/2=(1,1,1)
F为AD中点：(0,1,0)
平面EAB的一条法向量：AE×AB=(1,1,1)×(2,0,0)=(0,2,-2)
则平面EAB的点法式方程为(不妨取A点)：(x-0,y-0,z-0)·(0,2,-2)=0，展开得：y-z=0 ①
平面PCD的一条法向量：DP×DC=(0,-2,2)×(2,0,0)=(0,4,4)
则平面PCD的点法式方程为(不妨取P点)：(x-0,y-0,z-2)·(0,4,4)=0，展开得：y+z=2 ②
平面PAD就是oyz平面，x轴就是它的一条法向量，所以它的点法式方程为(不妨取A点)：(x-0,y-0,z-0)·(1,0,0)=0，展开得：x=0 ③
联立①②③，解得：
x=0,y=1,z=1
即(0,1,1)为平面EAB截立方体与PD棱的交点，且刚好为PD的中点，不妨设为G
画线方法就是在立方体表面把GE、GA分别作直线链接。
AG在RT△PAD中，且为斜边上的中线，则AG=(2*√2)/2=√2
EG在△PCD中，由相似三角形易知EG=1/2CD=1/2*2=1
BE=√((2-1)^2-(0-1)^2-(0-1)^2)=√3
AB=2
则ABEG的周长为2+√3+1+√2=3+√3+√2
平面BEF的一条法向量：BE×BF=(-1,1,1)×(-2,1,0)=(-1,-2,1)
则平面BEF的点法式方程为(不妨取点B)：(x-2,y-0,z-0)·(-1,-2,1)=0，展开得：x+2y-z=2 ④
联立②③④，解得：
x=0,y=4/3,z=2/3
即(0,4/3,2/3)是平面BEF与棱PD的交点(不妨设为H)。在RT△PAD中，由相似三角形易知：H为PD的三等分点，且靠近D点。
画线方法就是在立方体表面把HE、HF分别作直线连接。

总结：

平面方程在解析法中处理截线、交点非常简单直接。而且该方法中重复步骤非常多（求法向量、求平面方程），思维非常线性向前，不存在什么高级的构造。高考中极易掌握。计算量不大，在高考中也不易出错。是个值得花一点点时间掌握的高效技法。