2023数分每日一题学习感悟-Day51（函数列与函数项级数：Abel与Dirichlet判别法）

一、总体感受

1、在理解与感知Abel判别法与Dirichlet判别法如何应用的时候，对收敛与一致收敛的更深层的理解。

2、对于数项级数而言，收敛必然就是一致收敛的，因为没有x的约束，所以对数项级数而言，一般就说收敛就可以了。

3、而对于函数项级数而言，使用到Abel判别法与Dirichlet判别法的时候必然就是一致收敛的。

特此，我制作了2个专栏，比较一下Abel判别法与Dirichlet判别法在级数中如何应用。

二、具体题目

（一）中山大学

总体感受：考察很细，很经典，考察基础知识

做法：

第一问：只需放缩一下，利用p-级数，送分题。

第二问：分为3步走，

①先证明收敛，利用Dirichlet判别法；

②再说明条件收敛（也就是加上绝对值后观察），利用放缩，|sinnx|≥(sinnx)^2，然后用升幂降次公式展开，利用p-级数的发散，整体发散；

③最后说明在x的某一区间上一致收敛，利用Dirichlet判别法

第三问：证明不一致收敛利用Cauchy准则。

注意：m取N+1,n=2m，x0取1/m，让m+1项到n项的和进行相加再放缩，系数放成最小的1/2m,sin这一项放成最小的sin1，又有m个，可以得到要取的ε0.从而说明非一致收敛

（二）中国科学院大学

难度：整体简单

思路：利用已知配未知。

做法：

1、先证一致收敛

利用Abel判别法即可，利用题意在x0收敛

2、再证绝对收敛（仍然是配凑）

两种配法，

配法一：x=x0+(x-x0)利用数项级数收敛。所以通项极限为0，因此该数列有界，设个M，另一项利用p-级数收敛，从而绝对收敛。

配法二：x=(x+x0-1)/2+(x-x0+1)/2，一项放缩成M，另一项是p-级数收敛，即可证明绝对收敛