2023数分每日一题学习感悟-Day11(一致连续一)

一、总体感受

很经典，需要非常熟练，拿来就可以默写。

二、需要掌握学会

1、Cauchy准则

2、一致连续的充要条件，常常用其逆否命题来说明（day11中南开大学这题使用到）

3、Lipschitz条件，在看到一致连续时候往往想到导数有界，利用Lagrange中值定理

4、单调有界定理：实数系中，有界的单调函数必有极限。

（不能忘记很重要）

三、具体题目

（一）华中师大

本题可以结合与中国矿大（徐州）那题一起分析，出处源于华师大课本第四章总练习题的第1题。

做题思路：

1、写出一致连续的定义

2、利用Cauchy准则，得到端点的极限存在（Cauchy准则需要好好学习，默写）

3、由于端点处极限存在，可以定义一下新函数

（a处函数值=a处右极限，b处函数值=b处左极限）

4、得到新函数在闭区间上连续，必然在闭区间上有界，于是自然也在开区间上有界。

（二）陕西师大

特点：非常经典，需要非常熟练，做到拿来就可以默写

做题思路：

1、先利用Cauchy准则，利用极限存在，写出2个极限定义（也就是Cauchy准则中极限存在的充要条件）

2、利用f(x)在（-∞，+∞）处连续，所以闭区间上[-M1-1,M2+1]上连续，从而一致连续，写出一致连续定义

3、记新的δ=min{δ1，1｝,意识到x',x''要么同属于(-∞，-M1],要么同属于[M2,+∞),要么同属于[-M1-1,M2+1].发现在（-∞，+∞）上的x',x''都可以满足一致收敛的定义。

注意点：不要漏写|x'-x''|＜δ1、|x'-x''|＜δ。常常犯这种错误！

（三）南开大学

特点：可能是21/22清华丘班的一道测试题改编的。观察到分段函数然后去求参数范围的。

做题思路：

1、以0为界，发现α≤0，必然不一致连续，利用一致连续的充要条件（逆否命题）。

2、得到α必然大于0的情况下，考虑到f(x)求导后，指数放到前面后，必然出现α-1，所以以1为界再次分两段考虑。先考虑α＞1，求导发现这个导数随着x→无穷大时，本身趋于无穷大，利用Lagrange中值定理与一致收敛的充要条件（逆否命题），得出不一致连续。

3、最后只剩下α在(0,1]的一段，先考虑[0,1]上的一致连续性，再考虑[1,+∞)上的一致连续性，一样是要利用Lagrange中值定理以及一致连续的充要条件。

Remark:这里看到一致连续，可以等价与导数有界，也可以利用Lipschitz条件。

（四）中国矿大（徐州）

做题思路：同华中师大。

1、利用单调有界定理，得到端点处极限均存在

2、既然端点处存在极限，于是就去定义新函数。

3、得到新函数在闭区间上连续，从而闭区间上一致连续，从而开区间上也一致连续。

补充：什么是利普希茨条件(Lipschitz条件)？

这个补充参考了知乎

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