高等数学第8讲—闭区间上连续函数的性质

第八章 闭区间上连续函数的性质

一、知识点

1. 

   12:08

   
   定理1（最大最小值定理）：f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必取到最大值M和最小值m
2. 最值强调区间，极值强调邻域（双侧）。故最值点可取闭区间的端点，极值点不行。
   

   18:03

   
3. 如果f(x)在开区间(a,b)内连续，是否能保证取到最大值或最小值？——不能保证
   

   19:16

   
4. f(x)只有在两端都闭的区间上连续才能保证一定能取到最值，其余的情况都未必能取到最值。
   

   21:16

   
5. 推论：如果f(x)在闭区间[a,b]连续，则在[a,b]上有界
6. 思考：开区间上连续函数有界性如何判断？
   

   22:56

   
7. f(x)在(a,b)内连续，且趋于a的右极限和趋于b的左极限都存在，则f(x)在(a,b)内有界。
8. 其他情况以此类推
9. 

   51:02

   
   定理2 （介值定理）：f(x)在[a,b]上连续，最大值为M，最小值为m，任意的数c属于[m,M],则存在ξ属于[a,b]，使f(ξ)=c. 
10. ξ取值强调闭区间
11. ξ不一定唯一
12. 

    01:08:19

    
    定理3 （零点定理）：f(x)在[a,b]上连续，若f(a)f(b)<0,则存在ξ属于(a,b)，使f(ξ)=0.
13. ξ取值强调开区间
14. 定理3是充分非必要条件
15. ξ不一定唯一
16. 经常用来判定根的存在性，也可以结合单调性来判断根的个数
17. 离散与连续的绝对值不等式：见图1
18. 四个平均值定理：
19. 算数平均值定理：见图2
20. 加权平均值定理：见图3
21. 几何平均值定理：见图4
22. 连续平均值定理（积分中值定理）：见图5
23. 加强形式：ξ属于开区间(a,b),见图6
24. 函数f(x)连续是f(x)存在原函数的充分不必要条件

图1：离散与连续的绝对值不等式

图2：算数平均值定理

图3：加权平均值定理

图4：几何平均值定理

图5：连续平均值定理（积分中值定理）

图6：连续平均值定理（积分中值定理）——加强形式

二、证明

1. 证明“f(x)在(a,b)内连续，且趋于a的右极限和趋于b的左极限都存在，则f(x)在(a,b)内有界”：
   

   26:13

   
2. 证明算数平均值定理：
   

   01:25:17

   
3. 证明加权平均值定理：
   

   01:29:36

   
4. 证明几何平均值定理：
   

   01:39:46

   
5. 证明连续平均值定理（积分中值定理）：
   

   01:44:52

   
6. 证明连续平均值定理（积分中值定理）的加强形式：
   

   01:56:06

   
7. 使用连续平均值定理（积分中值定理）的加强形式证明的题：
   

   02:01:07

   
8. 使用零点定理证明的问题（注意细节）：
   

   02:03:38

   

三、计算

1. 判断函数在哪个区间内有界：
   

   34:22