常微分方程笔记（五）

2023-03-19 17:21 作者:啊啊啊每当想起你 0人读过 | 我要投稿

前言：没想到这个（tuo）笔（da）记（bian）已经出到第五回了.虽然再过几天就复试了，但是如果没写完的话，我还是会填完这个坑，毕竟除了要考的内容外也还是有一些想写的东西，不过也许要等毕业了（？）.

这一章我认为最基本就是Wronsky行列式，常数变易法，降阶以及幂级数解法，关于常系数线性微分方程的解法可以和第五章的内容结合，用线性方程组的方法来解，所以放到下一章来说.

第四章高阶偏微分方程

4.1 线性微分方程的一般理论

n阶非齐次线性方程组：形如

$%5Cfrac%20%7Bd%5Enx%7D%20%7Bdt%5En%7D%20%2B%20a_1(t)%20%5Cfrac%20%7Bd%5E%7Bn-1%7Dx%7D%20%7Bdt%5E%7Bn-1%7D%7D%20%0A%2B%20...%20%2Ba_%7Bn-1%7D(t)%20%5Cfrac%20%7Bdx%7D%20%7Bdt%7D%20%2B%20a_n(t)x%20%3D%20f(t)$ （4.1）

方程（4.1）对应的n阶齐次线性方程组：形如

上述两个方程中 $a_i(t)(i%3D1%2C%2C..%2Cn)$ 及f(t)都是a≤t≤b上的连续函数.

方程（4.1）的存在唯一性定理：如果 $a_i(t)(i%3D1%2C%2C..%2Cn)$ 及f(t)都是a≤t≤b上的连续函数，则对于任一 $t_0%20%5Cin%20%5Ba%2Cb%5D$ 及任意的 $x_0%2Cx_0%5E%7B(1)%7D%2C...%2Cx_0%5E%7B(n-1)%7D$ ，方程存在唯一解x=φ(t)定义于a≤t≤b上，且满足初值条件

$%5Cvarphi%20(t_0)%3Dx_0%2C%5Cfrac%20%7Bd%5Cvarphi%20(t_0)%7D%7Bdt%7D%3Dx_0%5E%7B(1)%7D%2C%0A...%2C%5Cfrac%20%7Bd%5E%7Bn-1%7D%5Cvarphi%20(t_0)%7D%7Bdt%5E%7Bn-1%7D%7D%3Dx_0%5E%7B(n-1)%7D$ （4.3）

4.1.1 齐次线性微分方程的解的性质与结构

定理1（叠加原理）如果 $x_1(t)%2C%20x_2(t)%2C...%2Cx_k(t)$ 是方程（4.2）的k个解，则它们的线性组合 $c_1x_1(t)%2Bc_2x_2(t)%2B...%2Bc_kx_k(t)$ 也是方程（4.2）的解，这里 $c_1%2Cc_2%2C...%2Cc_k$ 是任意常数.特别的，当k=n时，即方程（4.2）有解

$x%3Dc_1x_1(t)%2Bc_2x_2(t)%2B...%2Bc_nx_n(t)$ （4.4）

线性相关/无关：考虑定义在a≤t≤b上的函数 $x_1(t)%2C%20x_2(t)%2C...%2Cx_k(t)$ ，如果存在不全为零的常数 $c_1%2Cc_2%2C...%2Cc_k$ ，使得恒等式 $c_1x_1(t)%2Bc_2x_2(t)%2B...%2Bc_kx_k(t)%20%5Cequiv%200$ 对于所有

$t%20%5Cin%20%5Ba%2Cb%5D$ 都成立，我们称这些函数是线性相关的，否则就称这些函数在所给区间上线性无关.

Wronsky行列式：称以下定义在a≤t≤b上的k个可微k-1次函数 $x_1(t)%2C%20x_2(t)%2C...%2Cx_k(t)$ 所作成的行列式为Wronsky行列式：

$W%5Bx_1(t)%2Cx_2(t)%2C...x_k(t)%5D%20%5Cequiv%20W(t)%20%20%5Cequiv%0A%5Cleft%7C%0A%5Cbegin%7Barray%7D%0A%7Bcccc%7D%0Ax_1(t)%26x_2(t)%26...%26x_k(t)%5C%5C%0Ax'_1(t)%26x'_2(t)%26...%26x'_k(t)%5C%5C%0A%5Cvdots%26%5Cvdots%26%20%26%5Cvdots%26%5C%5C%0Ax_1%5E%7B(n-1)%7D(t)%26x_2%5E%7B(n-1)%7D(t)%26...%26x_k%5E%7B(n-1)%7D(t)%5C%5C%0A%5Cend%7Barray%7D%0A%5Cright%7C$

定理2 若函数 $x_1(t)%2C%20x_2(t)%2C...%2Cx_n(t)$ 在a≤t≤b上线性相关，则在a≤t≤b上它们的 $W(t)%20%5Cequiv%200$ .

定理3 如果方程（4.2）的解 $x_1(t)%2C%20x_2(t)%2C...%2Cx_n(t)$ 在a≤t≤b上线性相关，则 $W%5Bx_1(t)%2Cx_2(t)%2C...%2Cx_n(t)%5D%5Cneq%200(a%20%5Cleq%20t%20%5Cleq%20b)$ .

定理4 n阶齐次线性微分方程（4.2）一定存在n个线性无关的解.

定理5（通解结构）如果 $x_1(t)%2C%20x_2(t)%2C...%2Cx_n(t)$ 是方程（4.2）的n个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可表示为（4.4）的形式，其中 $c_1%2Cc_2%2C...%2Cc_n$ 是任意常数，且通解（4.4）包含了方程（4.2）的所有解.

推论方程（4.2）的线性无关解最多为n个.因此可得结论：n阶齐次线性微分方程的所有解构成一个n维线性空间.方程（4.2）的一组n个线性无关解称为方程的基本解组.显然，基本解组不是唯一的.特别的，当 $W(t_0)%20%3D%201$ 时称其为标准基本解组.

Liouville公式：设 $x_1(t)%2C%20x_2(t)%2C...%2Cx_n(t)$ 是方程（4.2）的任意n个解，它们所构成的Wronsky行列式满足一阶线性微分方程

$W'%2Ba_1(t)W%3D0$ （4.5）

因而有

$W(t)%3DW(t_0)%20%5Cexp%20%5Cbigg(-%20%5Cint%5Et%20_%7Bt_0%7Da_1(s)ds%20%5Cbigg)%2Ct_0%2Cs%20%5Cin%20(a%2Cb)$ （4.6）

4.1.2 非齐次线性方程组与常数变易法

两个性质：（1）如果 $%5Cbar%7Bx%7D(t)%20$ 是方程（4.1）的解，而x(t)是方程（4.2）的解，则 $%5Cbar%7Bx%7D(t)%20%2B%20x(t)$ 也是方程（4.1）的解.

（2）方程（4.1）的任意两个解之差必为方程（4.2）的解.

定理6 设 $x_1(t)%2C%20x_2(t)%2C...%2Cx_n(t)$ 是方程（4.2）的基本解组，而 $%5Cbar%7Bx%7D(t)%20$ 是方程（4.1）的某一解，则方程（4.1）的通解可表示为

$x%3Dc_1x_1(t)%2Bc_2x_2(t)%2B...%2Bc_nx_n(t)%2B%5Cbar%7Bx%7D(t)$ （4.7）

其中 $c_1%2Cc_2%2C...%2Cc_n$ 是任意常数，且该通解（4.5）包含了方程（4.1）的所有解.

常数变易法：设 $x_1(t)%2C%20x_2(t)%2C...%2Cx_n(t)$ 是方程（4.2）的基本解组，则方程（4.2）的通解为 $x%3Dc_1x_1(t)%2Bc_2x_2(t)%2B...%2Bc_nx_n(t)$ .把其中的任意常数 $c_1%2Cc_2%2C...%2Cc_n$ 看成是 $c_1(t)%2Cc_2(t)%2C...%2Cc_n(t)$ ，得

$x%3Dc_1(t)x_1(t)%2Bc_2(t)x_2(t)%2B...%2Bc_n(t)x_n(t)$ （4.8）

求导得： $x'%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20c_i(t)x'_i(t)%2B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20c'_i(t)x_i(t)$ （4.9）

令含有 $c'_i(t)$ 的部分等于0，得到第一个条件

$%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20c'_i(t)x_i(t)%3D0$ （4.10）

$x'%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20c_i(t)x'_i(t)$ （4.11）

将（4.11）式再对t求导，令含有 $c%E2%80%99_i(t)$ 的部分等于0，得到第二个条件 $%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20c'_i(t)x'_i(t)%3D0$ ，取剩余部分再求导.这样反复至得到第j(j=1,2,...,n-1)个条件

$%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20c'_i(t)x_i%5E%7B(j-1)%7D(t)%3D0$ （4.12）

和表达式

$x%5E%7B(j)%7D%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20c_i(t)x_i%5E%7B(j)%7D(t)$ （4.13）

j=n-1时，对（4.13）求导得 $x%5E%7B(n)%7D%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20c_i(t)x_i%5E%7B(n)%7D(t)%2B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20c'_i(t)x_i%5E%7B(n-1)%7D(t)$ （4.14）

将（4.13）式当j=1,2,...,n-1时的表达式都代入至（4.14），注意到 $x_1(t)%2C%20x_2(t)%2C...%2Cx_n(t)$ 是方程（4.2）的解，得到最后一个条件

$c%E2%80%98_1(t)x_1%5E%7B(n-1)%7D(t)%2Bc%E2%80%99_2(t)x_2%5E%7B(n-1)%7D(t)%2B...%2Bc%E2%80%98_n(t)x_n%5E%7B(n-1)%7D(t)%3Df(t)$ （4.15）

联立（4.12）式当j=1,2,...,n-1时的方程以及（4.15）式可得线性方程组，其系数行列式正是 $W%5Bx_1(t)%2Cx_2(t)%2C...%2Cx_n(t)%5D%5Cneq%200$ ，因而方程组的解可唯一确定.设求得

$c'_i(t)%3D%5Cvarphi%20_i(t)%2Ci%3D1%2C2%2C...%2Cn$

积分得： $c_i(t)%3D%5Cint%5Cvarphi%20_i(t)dt%2B%5Cgamma%20_i%2Ci%3D1%2C2%2C...%2Cn$

这里 $%5Cgamma_i(i%3D1%2C2%2C...%2Cn)$ 是任意常数.将所得 $c_1(t)%2Cc_2(t)%2C...%2Cc_n(t)$ 的表达式代入（4.8），即得方程的（4.1）的解

$x%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20%5Cgamma%20_i%20x_i(t)%2B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20x_i(t)%5Cint%20%5Cvarphi%20_i(t)dt$ （4.16）

显然，它也是方程（4.1）的通解.得到方程的一个解，只需要给定常数 $%5Cgamma_i(i%3D1%2C2%2C...%2Cn)$ 即可.

4.3 高阶微分方程的降阶和幂级数解法

4.3.1 可降阶的一些方程类型

n阶微分方程一般可写为 $F(t%2Cx%2Cx'%2C...%2Cx%5E%7B(n)%7D)%3D0$ .

三类特殊方程的降阶问题：

（1）方程不显含未知函数x，或更一般地，设方程不含 $x%2Cx'%2C...%2Cx%5E%7B(k-1)%7D$ ，即方程形如

$F(t%2Cx%5E%7B(k)%7D%2Cx%5E%7B(k%2B1)%7D%2C...%2Cx%5E%7B(n)%7D)%3D0%20(1%20%5Cleq%20k%20%5Cleq%20n)$ （4.17）

若令 $x%5E%7B(k)%7D%3Dy$ ，则方程即降为关于y的n-k阶方程

$F(t%2Cy%2Cy'%2C...%2Cy%5E%7B(n-k)%7D)%3D0$ （4.18）

如果能够求得方程（4.18）的通解，即得 $x%5E%7B(k)%7D%3Dy%3D%5Cvarphi%20(t%2Cc_1%2Cc_2%2C...%2Cc_%7Bn-k%7D)$ .再经过k次积分得到 $x%3D%5Cpsi%20(t%2Cc_1%2Cc_2%2C...%2Cc_%7Bn%7D)$ ，其中 $c_1%2Cc_2%2C...%2Cc_n$ 是任意常数，这就是方程（4.17）的解.

（2）不显含自变量t的方程

$F(x%2Cx'%2C...%2Cx%5E%7B(n)%7D)%3D0$ （4.19）

若令x'=y，并以它为新未知函数，而视x为新自变量，则方程就可降低一阶.

事实上，在所作的假定下， $x'%3Dy%2Cx''%3Dy%20%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%2Cx'''%3Dy%20%5Cbigg(%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%20%5Cbigg)%5E2%20%2B%20y%5E2%20%5Cfrac%7Bd%5E2y%7D%7Bdx%5E2%7D%2C...$ .可用数学归纳法证明， $x%5E%7B(k)%7D$ 可用 $y%2C%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%2C%20...%2C%5Cfrac%7Bd%5E%7Bk-1%7Dy%7D%7Bdx%5E%7Bk-1%7D%7D$ 表示（k≤n）.将这些表达式代入（4.19）就得到 $G%5Cbigg(y%2C%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%2C%20...%2C%5Cfrac%7Bd%5E%7Bk-1%7Dy%7D%7Bdx%5E%7Bk-1%7D%7D%20%5Cbigg)%3D0$ ，这是关于x,y的n-1阶方程，比原方程（4.19）低一阶.

（3）已知齐次线性微分方程（4.2）的k个线性无关解为 $x_1(t)%2C%20x_2(t)%2C...%2Cx_k(t)$ ，令 $x%3Dx_ky$ ，直接计算可得

$x%5E%7B(n)%7D%3Dx_ky%5E%7B(n)%7D%2Bnx'_ky%5E%7B(n-1)%7D%2B%5Cfrac%20%7Bn(n-1)%7D%7B2%7Dx''_ky%5E%7B(n-2)%7D%0A%2B...%2Bx_k%5E%7B(n)%7Dy$ .

代入（4.2）可得：

$x_ky%5E%7B(n)%7D%2B%5Bnx'_k%2Ba_1(t)x_k%5Dy%5E%7B(n-1)%7D%2B...%0A%2B%5Bx_k%5E%7B(n)%7D%2Ba_1(t)x_k%5E%7B(n-1)%7D%2B...%2Ba_n(t)x_k%5Dy%3D0$

这是关于y的n阶方程，且各项系数是t的已知函数，而y的系数恒等于0，因为 $x_k$ 是方程（4.2）的解.因此，如果引入新未知函数z=y'，并在 $x_k%20%5Cneq%200$ 的区间上用 $x_k$ 除方程的各项，我们便能得到形如下列的n-1阶齐次线性微分方程：

$z%5E%7B(n-1)%7D%2Bb_1(t)z%5E%7B(n-2)%7D%2B...%2Bb_%7Bn-1%7D(t)z%3D0$ （4.20）

方程（4.20）的解与（4.2）之间解的关系： $z%3Dy'%3D%20%5Cbigg(%20%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx_k%7D%20%5Cbigg)'$ 或 $x%3Dx_k%5Cint%20zdt$ .由此可得方程（4.20）的线性无关解 $z_i%3D%20%5Cbigg(%20%5Cfrac%7Bx_i%7D%7Bx_k%7D%20%5Cbigg)'(i%3D1%2C2%2C...%2Ck-1)$ ，又可重复上面的操作进行降阶.

4.3.2 二阶线性微分方程的幂级数解法

考虑二阶齐次线性微分方程

$%5Cfrac%7Bd%5E2y%7D%7Bdx%5E2%7D%2Bp(x)%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%2Bq(x)y%3D0$ （4.21）

满足初值条件 $y(x_0)%3Dy_0%2Cy'(x_0)%3Dy'_0$ 的情况.

定理7 若方程（4.21）中系数p(x)和q(x)都能展开成 $x-x_0$ 的幂级数，且收敛区间为 $%7Cx-x_0%7C%3CR$ ，则方程（4.21）有形如

$y%3D%5Csum_%7Ba%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da_n(x-x_0)%5En$ （4.22）

的特解，也以 $%7Cx-x_0%7C%3CR$ 为收敛区间.

定理8 若方程（4.21）中系数p(x)和q(x)不能展开为 $x-x_0$ 的幂级数，但 $xp(x)%2Cx%5E2q(x)$ 均可展开成 $x-x_0$ 的幂级数，且收敛区间为 $%7Cx-x_0%7C%3CR$ ，若 $a_0%20%5Cneq%200$ ，则方程（4.21）有形如

$y%20%3D%20x%5E%5Calpha%20%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%20a_nx%5En%20%0A%3D%20%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%20a_nx%5E%7Bn%2B%5Calpha%7D$ （4.23）

的特解，α是一个待定的常数.级数（4.21）也以 $%7Cx-x_0%7C%3CR$ 为收敛区间.若 $a_0%20%3D%200$ ，或更一般地， $a_i%20%3D%200(i%3D0%2C1%2C2%2C...%2Cm-1)$ ，但 $a_m%20%5Cneq%200$ ，则引入记号 $%5Cbeta%20%3D%20%5Calpha%20%2B%20m%2C%20b_k%20%3D%20a%2B%7Bm%2Bk%7D$ ，则

$y%20%3D%20x%5E%5Calpha%20%5Csum_%7Bn%3Dm%7D%5E%5Cinfty%20a_nx%5En%20%0A%3Dx%5E%7B%5Calpha%20%2B%20m%7D%20%5Csum_%7Bk%20%3D%200%7D%5E%5Cinfty%20a_%7Bm%2Bk%7Dx%5Ek%20%0A%3Dx%5E%5Cbeta%20%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%5Cinfty%20b_kx%5Ek$ （4.23）*

这里 $b_0%3Da_m%20%5Cneq%200$ ，β仍为待定常数.

（P.S. 4.3最后还有一个Bessel方程 $x%5E2%20%5Cfrac%7Bd%5E2y%7D%7Bdx%5E2%7D%2Bx%20%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%2B(x%5E2-n%5E2)y%3D0$ ，以及两类Bessel函数，但是看的北大版和王版里表述一样，所以这里没放上来，有空的时候来填这个坑.

P.S.S. 因为b站专栏只让放100个公式，所以有些地方就没打公式，做的比较粗糙，阿巴阿巴.）

标签：

常微分方程笔记（五）

常微分方程笔记（五）的评论 (共条)

你可能也喜欢这些文章

最新发布的文章

常微分方程笔记（五）

本文作者的其他文章

常微分方程笔记（五）的评论 (共 条)

你可能也喜欢这些文章

最新发布的文章

常微分方程笔记（五）的评论 (共条)