数形转变与数位进制演化

M：Excuse me. Can you tell me how much the T-shirt is?”

W：Yes, it is nine fifteen.

Q：How much is the T-shirt?

A：9.15.

想必对于经历过高考英语的大家，都不陌生这段英语听力对话，再熟悉不过的“衬衫价格是9磅15便士”。超市的货物明码标价，菜场的吆喝此起彼伏，时间的度量齐整规划，自然、建筑、艺术、财政等等，多少都离不开“数字”。然而，自出生以来，就在“数字”的世界里徜徉，却不知其身世与变化。经济学家亚当·斯密说过“数是人类在精神上制造出来的最抽象的概念”。

近来，翻阅比尔·柏林霍夫和费尔南多·辜维亚的《数学史》和远山启的《数学与生活》，才或多或少有了脉络与框架。

世界本无数，但或多或少形成了“以物易物”的形式，抑或是用麻绳的结、刻印的图案、人名来代表“一一对应”的关系，似乎更像是“符号”到“数”的“映射”概念。在这里，柏兰特·罗素提到“要觉察到两天和两只雏鸡是同样的数字，需要漫长的岁月”——这是一句回味无穷的话语。譬如呱呱坠地的普通婴儿，在认知刚刚形成的时候，知道物什，要分清“2”这个数代表了无穷多的含义也需要后天训练，这一点与动物的正反馈训练无异（乌鸦也能通过训练后也能“对应”数字），至于是否真正“理解”暂时无从所知。

除了“一一对应”，远山启给出了数（其实更贴近数集）的另外两个基本条件：总量不变性（划分成多个部分，数的总数目不变）和顺序无关性（改变计数顺序，对应的数保持不变）。

过去的六千多年，不用的群体在不同的时间使用了100多种不同的记数体系。公元前三千年前的古埃及将“象形文字”同数字相联，对应个十百千等数，顺序无关（历史考究：英国牛津博物馆中的埃及皇家权杖以此记录参加军事战役的人数、纪念碑碑文等），但逐渐形成了更紧凑、简洁的表达式，随之为每个单位引入的9个不同的基本符号，平添了记忆的负担。同期，被称为“文明的摇篮”的美索不达米亚地区（目前是伊拉克的一部分），在公元前3500年后历经3000年至少出现了十种不同的记数系统。

公元前2000年到公元前1600年，古巴比伦使用了两种楔形分别表达数字10和1，不同于十进制，同时采用六十进制，但是分辨的困难在于符号组间距的“模糊性”（因为在此记数系统中没有“0”的概念）。到了公元前400年左右，中美洲的玛雅文明有了类似巴比伦的记数系统，使用点和横线分别代表1和5，采用二十进制，并用类似贝壳的符号解决了间隔困难，但对于欧洲并没有多大影响。相反，更原始的古希腊和古罗马记数系统是西欧文明的源头。古希腊的主要使用25个子母和两个额外的符号表达（均分成3份，三份分别代表1的倍数、10的倍数、100的倍数，大于1000就需要用特殊标记）。自罗马帝国统治欧洲后（公元前1世纪至公元5世纪），使得罗马数字成为欧洲通用的数字书写方式，甚至一度延续到文艺复兴时期。罗马记数系统在十进制的基础上，使用五进制的辅助单位，上千的数则在符号上加横线，且引入了“减法”原则（IV=5-1=4），并且要求只能与符号表中相邻两个更大的值配对，这样任何数字都不会有超过三个相同的基本符号。

目前，我们使用“阿拉伯数字”0-9的记数系统，其实是由公元前600年的古印度发明，后经几个世纪的完善后，在7世纪和8世纪被伊斯兰势力扩张传播到阿拉伯。那时，欧洲人也从阿拉伯学会了这种“位值制”的十进制记数系统，也更便于“计算”。这种似乎与我们的十根手指密不可分。

不论是十进制、六十进制，还是二十进制、五进制，都似乎有着“文明”的独特性。进制越小的地方记录的数字一般也都不大，这似乎与文明的开化程度、经济水平相互关联，而进制越大则需要越大的进制来计算。非洲大陆则是五进制的世界，澳洲大陆则是二进制、三进制的世界，而四进制在英属哥伦比亚的居民中似乎比较多。中国的“半斤八两”（半斤等于八两，一斤就是十六两），放在今天就是十六进制，而“划正字”则是五进制。此外，爪哇地区的巽他族还出现过六进制。而在旧约圣经中说有一个手脚都有六根指头、总共有24根指头的巨人和大卫王打仗的事，瑞典国王查理十二世（1682-1718）推行了十二进制（也许是除去大拇指外的十二根指节），推崇十二进制的学者是博物学家布封（1707-1788）。而在欧洲的语言习惯中还残留着十二进制的影子，如：12个是1打、12英寸是1英尺、12便士是1先令；英语中表示11和12并不是ten-one和ten-two，而是eleven和twelve，是从哥特语中ainlif（余1）和twalib（余2）演化而来，从这一点，似乎还是十进制的基础。

这里，我们将所有的进制从小到大排个序，有：2、3、4、5、6、8、10、12、16、20、60。这里出现约数最多的便是2、3、5，这也是前三个素数，也是斐波那契数列中大于1的前三个数，冥冥中有了联系。而如今，还流行通用的进制仍然在生活中随处可见：二进制的计算机（0/1、开关、逻辑、数据保存）、三进制的季节（四季）、五进制的辅助能力（算盘、现金交易）、十进制的运算（满十进一）、十二进制的月份（年）、十六进制的颜色表（FFFF00）、六十进制的时间角度（时分秒、度分秒）等等。

不论是数形的对应还是进制的产生，那时都还停留在整数阶段，随着莱布尼茨大力推广二进制的时候，发现任何数字都可以用两种数形表示，而他也认为其中一个象征神，一个象征虚无，是神和虚无创造了整个宇宙，由此分别产生了1和0，这种想法随后被传教士传入中国。而在老子《道德经》中，也有“道生一，一生二，二生三，三生万物”，似乎从“虚无”、“无中生有”的角度，0更偏向哲学的领域，而二进制的极大发挥是在“计算机之父”——冯·诺依曼时代，作为第一台电子计算机ENIAC的编码系统。而正整数和0也构成了自然数数集，随着经济社会的发展，财政“赤字”、“赊账”不还和“人数”迁徙等现象层出不穷，都需要更加明确的数字来表示，从而负数进入了生活。“不患寡而患不均，不患贫而患不安”的“平均”理念也让分数（有理数）登上“舞台”。《九章算术》中对于分数在日常生活中运用得更加充分，而其也有别于重要的无理数，其中最颇为人知的便是“圆周率”这个无理数，其由魏晋时期的刘徽首创的割圆术来不断逼近。另一个“优美”的无理数便是自然指数或欧拉数（可参考《专搞“线”的伯努利家族》）。

对于不同的进制表达，我们都可以用下面类似的科学计数法表示。

既然计算机有位数和内核限制，就不可能将所有实数都表示出来，与此同时，浮点运算也无法精确进行。这就需要将理论的运算重现到计算机上，尽可能减少其运算过程中的误差，这就需要选择合适的“算法”并加以探讨，尤其是在进行类似阶乘算法、分母约为0的除法和循环迭代算法等情况。

古往今来，各个文明古国都有着自身数形转变和数位进制的历史，随着时代的更迭，战争殖民、市场经济、政治擂台、信息交流等等，都对数集的概念进行了扩充和发展，也产生了运算规则。与此同时，也遗留着一些数字本身未尽的问题，值得深究，那里也有一片“未知的宇宙”，而你手中或许就握着打开数字大门的钥匙。