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第 一章  函数与极限

第八节 函数的连续性与间断点

一、函数的连续性

概念——

• 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果
  

    ——那么就称函数y=f(x)在点x0连续。

• 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果
  

    ——那么就称函数f(x)在点x0连续。

二、函数的间断点

分类——

常见类型——

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的和、差、积、商的连续性

定理：设函数f(x)和g(x)在点x0连续，则它们的和（差）f+g，差f-g，积fg，商f/g

（当g(x0)≠0时）都在点x0连续。

二、反函数与复合函数的连续性

定理——

• 如果函数y=f(x)在区间Ix上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数
  

    ——也在对应的区间Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上单调增加（或单调减少）且连续。

• 设函数y=f[g(x)]由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，
  

    ——若

    ——而函数y=f(u)在u=u0连续，则

• 设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，
  

    ——若函数u=g(x)在x=x0连续，且g(x0)=u0，而函数y=f(u)在u=u0连续，

    ——则复合函数y=f[g(x)]在x=x0也连续。

三、初等函数的连续性

结论——

1. 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的。

2. 一切初等函数在其定义区间内都是连续的——

   定义区间：包含定义域的区间。

第十节 闭区间上连续函数的性质

一、有界性与最大值最小值定理

定理：（有界性与最大值最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。

二、零点定理与介值定理

定理——

1. （零点定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)f(b)<0），那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使f(ξ)=0。

2. （介值定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C(a<ξ<b)。

3. 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。

三、一致连续性

定义：设函数f(x)在区间I上有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在着正数δ，使得对于区间I上的任意两点x1、x2，当|x1-x2|<δ时，就有|f(x1)-f(x2)|<ε，那么称函数f(x)在区间I上是一致连续的。

定理：（一致连续性定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么它在该区间上一直连续。