学习日记 35

A是n阶方阵，证明:A^2＝E的充要条件是r(A+E)+r(A-E)＝n.

必要性:已知A^2＝E，故(A+E)(A-E)＝0，r(A+E)+r(A-E)≤n,又r(A+E)+r(A-E)＝r(E+A)+r(E-A)≥r(E+A+E-A)＝r(2E)＝n.因此r(A+E)+r(A-E)＝n.

充分性:已知r(A+E)+r(A-E)＝n，则

矩阵的分块初等变换

因此

而r(E)＝n，故r(A^2-E)＝0

A^2＝E