刚体运动中变换矩阵的逆的说明

外参矩阵是由一个点在某一坐标系下的坐标转到另一个坐标系下的坐标的转换矩阵，其构成如下：

刚体坐标的转换就涉及旋转和平移两个部分组成，其中R代表旋转矩阵（3X3），T是平移矩阵（3X1），矩阵的第四行是为了配平移矩阵出现的，所以不用去管它。

对于坐标系1到坐标系2有这样的关系，那么同理，从坐标系2到坐标系1应该也会有相应的矩阵，也就是说等式两边同时左乘外参矩阵，即：

易知这两个外参矩阵是互为逆矩阵的，也即：

对于旋转矩阵来说，旋转矩阵的逆等于其转置

所以通过上面的矩阵关系，我们就可以求出R2, T2:

也就是说，当我们转换两个坐标系的外参矩阵的时候，旋转矩阵变成了原来的旋转矩阵的转置矩阵，这一点很好理解，但是用来平移的矩阵却变成了 ，这里很多人就会疑惑了，为什么不是和旋转类似，我左移五步，倒过来我不应该是右移五步吗？

现在我们就从源头上来解释一下坐标转换之间的关系，解释完之后平移矩阵为什么会变成这样就很好理解了：

首先我们对于向量而言，向量的表示可以由基和坐标组成，我们任取空间中的两组正交基以及其对应的坐标，就会有：

我们对于上面的等式，两边同时左乘 ,会得到

里面的大矩阵，就是我们的旋转矩阵了，也就是, 但是我们要注意的是，这里的  和 都是向量的坐标。

向量有个特点，你把他平移到各处，他的坐标还是原来的坐标，是不会因为向量的位置变化而变化的。

为了解释起来方便，我建立了一个二维的示意图如下所示，我们人为的让所求的向量a的起始点与坐标系 (i,j)的原点重合，这样向量a的坐标就和向量顶点所在的那个点的坐标，在坐标系 中的坐标相同，都是

我们假设向量a在中的坐标（注意是向量的坐标！）为 , 那么我们就会有：

但是我们要求的是点相对于坐标系的坐标，而不是向量相对于坐标系的坐标，也就是：

我们要求的就是：

所以这里我们就能看出，我们的平移矩阵就是 坐标系的原点在坐标系中的坐标；

那么相应的，如果我们将两个坐标系反过来，求这个外参矩阵的逆矩阵之后，平移矩阵就会变成

这样的话其实就是说：

为什么是这个值呢，我们来根据上面的理论来计算一下：

现在我们把向量a这样画：

那么向量a在中的坐标就是,

根据向量坐标的旋转关系，向量a在中的坐标就等于

再者，如果我们取向量b如图所示：

那么向量b在中的坐标就是, 而且a和b是互为反向量。

也就是说：