导数恒成立问题,今天学TA!小姚老师

导数恒成立问题

参数全分离:让参数与未知数(函数)分居不等式两侧,即a≤f(x)
例题

00:35
全分离后最常用的便是将等式一边的关于x的式子定义为一个函数,通过求导求出最大值或者最小值,进而得出a的取值范围

如果我们进行全分离后发现构造出来的函数求导后依旧十分复杂,则考虑使用半分离
半分离的核心:将原来的不等式化为两个简单函数(如一次函数,二次函数,幂函数,指数函数,三角函数)然后通过数形结合判断大小求出参数的范围(如下图右方)

十分重要的临界情况:两函数相切

例题

05:29
结果

指对函数的分离方法:等式两边同时取对数(如lnx)即可

当我们取完对数参数分离后,不难发现等式两边的函数是同一个函数,这便需要用到同构思想。画图,不难发现无论f(a)取何值,都可以找到存在一个x使该不等式不成立,因此当且仅当f(a)在函数的最小值位置时,等式才成立

对函数求导求出最值,就可以轻松得到a的值:)
例题

14:14
PS:大题一般使用全分离,因为使用半分离涉及数形结合,容易扣分