【种花家务·代数】1-3-04整式的加减法『数理化自学丛书6677版』
【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』,此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版,并于1977年正式再版的基础自学教材,本系列丛书共包含17本,层次大致相当于如今的初高中水平,其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材,很多概念已经与如今迥异,因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外,黑字是教材原文,彩字是我写的注解。
【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教中学甲种本《微积分初步》,原因有二:一则,我是双鱼座,有一定程度的偶双症,但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠,因此就需要加入一本代数,使两边能够对偶平衡;二则,我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要,以我的惨痛教训为例,大一高数第一堂课,我是直接蒙圈,学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识,因此我所读院校的大学物理课是推迟开课;而比较生猛的大学则是直接开课,然后在绪论课中猛灌基础高数(例如田光善舒幼生老师的力学课)。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》,就是希望小伙伴升大学前可以看看,不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。
第三章整式
§3-4整式的加减法
1、单项式的加法
【01】应用上面所讲过的合并同类项的法则,我们很容易做关于单项式的加法。举例说明如下:
例1.求下面各题里的这些单项式的和:(1)3a,-5a;(2)3a,-4b,-5a;(3)3a,-4b 。
【解】
(1) 3a 和-5a 相加,它们的和就是 3a+(-5a) 。把它写成代数和的形式,再合并同类项,得3a+(-5a)=3a-5a=-2a 。
(2) 3a+(-4b)+(-5a)=3a-4b-5a=3a-5a-4b=-2a-4b 。
(3) 3a+(-4b)=3a-4b 。
【02】从上面的例子可以看到,做单项式的加法,有下面的单项式的加法法则:几个单项式相加,只要把这些单项式连结起来写成代数和的形式,再合并同类项。
【注】把几个代数式相加时,我们把这些代数式都叫做加式。
例2.做下面的加法:
【解】
(1) (-3ab)+(-2ab)+(+5ab)=-3ab-2ab+5ab=0 。
(2)
【注意】
在(1)中合并同类项以后 ab 的系数是 0,所以结果是 0 。
在(2)中 和
不是同类项,所以不能再合并。最后结果用 x 的降幂排列,这祥可以避免第一项的系发是负数。但是把
当做最后的结果也是可以的。
习题3-4(1)
1、做下面的加法:
2、求下列各式的和:
3、计算:
4、计算:
5、计算:
【答案】
2、单项式的减法
【03】在有理数的减法里,我们知道,减去一个数,等于加上它的相反的数。用字母来表示,就是a-(+b)=a+(-b),a-(-b)=a+(+b) 。
【04】所以做单项式的减法,只需应用下面的单项式的减法法则:减去一个单项式,只要把这个单项式的性质符号改成相反的符号,再做加法。
【注】一个代数式减去另一个代数式,我们把第一个代数式叫做被减式,第二个代数式叫做减式。
例3.做下列减法:
【解】
例4.计算:
【解】
例5.计算:
【解】
习题3-4(2)
1、计算:
2、做下列减法:
3、计算:
4、计算:
5、计算:
【答案】
3、多项式的加法和减法
【05】根据加法结合律,我们知道:a+(b+c+d)=a+b+c+d 。根据减法的运算性质,我们还知道:a-(b+c+d)=a-b-c-d 。
【06】所以做多项式的加法和减法,可以应用下面的多项式加减法法则:
(ⅰ)加上一个多项式,可以依次加上这个多项式的各项。
(ⅱ)减去一个多项式,可以改变减式各项的符号,把它们依次加在被减式上。
例6.做下面的加法:
【解】
例7.计算:
【解】
例8.计算:
【解】
习题3-4(3)
1、计算:
2、做下列加法:
3、做下列减法:
4、计算:
【答案】
4、多项式加减的直式运算
【07】在做多项式的加减法时,为了便于合并同类项,我们也可以用直式来进行演算。
例9.计算:(10x³-6x²+5x-4)+(9x³-2x²+4x+2) 。
【解】用直式演算:

【注意】用直式迸行加法演算时,首先要把第一个加式按照某一字母的降幂(或升幂)整理排列,其他的加式排在下面,要注意对齐同类项,这样,合并同类项时只要注意进行直行的系数的加法,写出对应的同类项来就是了。
【注意】用直式进行加法演算时,最后仍应列出横式来。
例10.计算:(8x³-6x²+5x-12)+(-4x²+3x-8)+(-5x³+5x+7) 。
【解】用直式演算:

【注意】用直式进行加法演算,如果有一些加式缺少某些幂的项时,可以空出相应地位,务使同类项上下对齐,这样才便于演算。
例11.计算:(3a²b-5a³+b³)+(6a³-7ab²-2b³)+(3a³+5a²b+7ab²) 。
【解】

例12.计算: 。
【解】

例13.计算:(3+x²-4x)-(5x一8十3x²) 。
【解】

【注意】同加法的直式写法一样,先要把被减式按照一个字母的降(或升)幂进行排列,再将减式的各项写在被减式的下面,使同类项互相对齐,然后在心中把减式各项的性质符号换成相反符号后,按加法合并同类项.最后还必须写出一个横式表示结果。
例14.计算:(3x⁴-2x²+x-3)-(4x³-x²+5) 。
【解】

例15.计算:(5a⁴+2a²b²+ab³-3a³b)-(5a²b-2ab²+3a²b²+b⁴) 。
【解】

习题3-4(4)
用直式进行演算:
【答案】