向量微积分证明轨道定律
一、前提条件 在三维空间的宇宙中存在质量分别为M和m的甲、乙两天体。甲、乙之间的距离为r。 Ⅰ、其他天体对甲、乙两天体的引力
远远小于
两天体之间的引力,
忽略
不计; Ⅱ、甲、乙两天体的半径
远远小于
它们之间的距离r,
忽略
不计,将两天体视作质点; Ⅲ、m≪M,即乙天体质量
远远小于
甲天体,
忽略
乙天体对甲天体的引力。 在满足以上三个前提的简单二体系统中,甲天体不受力,静止不动,称为中心天体,设其处于空间中O点,易知点O为定点;乙天体只受来自甲天体的引力,称为小天体,设其位置为空间中C点,易知点C为动点。 二、需要用到的向量公式 本文用红色加粗拉丁字母表示向量,用同一个字母黑色不加粗表示它的模,如a是
a
向量的模。 ①向量内积:
a·b
=abcosθ,θ为
a
、
b
两向量的夹角,θ∈〔0,π〕,内积结果为标量;向量数乘:λ
a
,即实数与向量的乘积; ②向量外积:
a×b
=absinθ
e
,外积结果为向量,
e
为
a×b
方向上的单位向量,垂直于
a
、
b
所在的平面,即
e
⊥
a
且
e
⊥
b
,至于是垂直向上还是垂直向下符合右手定则,由于对证明无影响,此处不作说明。内积符号“
·
”(点乘)可省略,外积符号“
×
”(叉乘)不可省略。 ③由①、②可知,
a
、
b
同向时,
a·b
=ab,特别地,
a·a
=a²,
a
、
b
反向时,
a·b
=-ab;
a
⊥
b
时,
a·b
=0;
a
、
b
平行时,
a×b
=
0
,特别地,
a×a
=
0
,
a
⊥
b
时,
a×b
=ab
e
,⎮
a×b
⎮=ab。 ④向量满足加法交换律和加法结合律;内积满足乘法交换律,外积满足反交换律,即
a×b
=
-b×a
,内积和外积均满足乘法分配律,均不满足乘法结合律;另,(λ
a
)
·b
=
a·
(λ
b
)=λ(
a·b
),此处点乘符号换成叉乘符号也符合。 ⑤1.
向量混合积轮换对称性
:(
a×b
)
·c
=(
b×c
)
·a
=(
c×a
)
·b
; 2.
向量二重外积公式
:
a×
(
b×c
)=(
a·c
)
·b
-(
a·b
)
·c
。 ⑥如果向量
a
随标量x变化(可不变),则称
a
是关于x的向量函数;如果标量y随标量x变化(可不变),则称y是关于x的标量函数(此处定义不够严谨)。
向量微分法则
: 设
a
、
b
是两个关于x的向量函数,c是关于x的标量函数。 1.d(
a·b
)=d
a·b
+
a·
d
b
, 2.d(
a×b
)=d
a×b
+
a×
d
b
, 即都是前微后不微加前不微后微,由于向量外积不符合乘法交换律,故式2等号右边不改变加减号情况下
a
、
b
顺序不可变。 3.
a·
d
a
=ada,简证:
a·a
=a²,两边同时微分(左边用式1,右边用复合函数微分法则)得2
a·
d
a
=2ada,再同时除以2得证。 4.d(
a
/c)=〔c(d
a
)-(dc)
a
〕/(c²),即上微下不微减上不微下微再除以下不微的平方。 ⑦
证明函数值守恒的核心判据
:dc/dx=0⇔c为常数标量函数,d
a
/dx=
0
⇔
a
为常向量向量函数。 三、两个重要守恒的证明 要想证明简单二体系统中的开普勒第一定律,核心是证明两个向量守恒(向量为常向量,大小方向恒不变):
⑴角动量守恒,⑵拉普拉斯-龙格-楞次向量(LRL向量)守恒
。 ❶定义小天体的矢径
r
为由中心天体指向小天体的向量,
v
为小天体的速度,
r
∦
v
,若
r
∥
v
,则小天体最终会撞向中心天体; 小天体受到中心天体的力
F
,由万有引力定律得
F
=〔GMm/(r²)〕·(
r
/r),F=GMm/(r²),
r
/r为
r
方向上的单位向量,G为万有引力常数; 小天体的动量
p
=m
v
,角动量
L
=
r×p
=
r×
(m
v
)=m(
r×v
);小天体的加速度
a
;E为小天体的能量,E=(1/2)m
v·v
+
F·r
=(1/2)mv²-GMm/r; 显然,
r
、
v
、
p
、
F
、
L
、
a
、r、v、p、F、L、a均为关于时间t的函数; 定义小天体的力矩
M
=d
L
/dt;加速度
a
=
F
/m=d
v
/dt,
v
=d
r
/dt;
F
=m
a
=m(d
v
/dt)=d(m
v
)/dt=d
p
/dt(式三❶1)。 ❷
角动量守恒
:
M
=d
L
/dt=d(
r×p
)/dt =(d
r
/dt)
×p
+
r×
(d
p
/dt)(式二⑥2) =
v×
(m
v
)+
r×F
(式三❶1) =
0
+
0
(二③,
r
∥
F
)=
0
。 即
M
=d
L
/dt=
0
(式三❷),根据二⑦的判据,
L
为常向量,即角动量守恒。 顺便证明: 设小天体在dt时间内,矢径由
r
变成
r
+d
r
,位移为d
r
,转过角度为dθ,则dt时间内矢径扫过的面积dS即为
r
、
r
+d
r
、d
r
组成的三角形的面积,则dS=1/2·⎮
r
⎮⎮
r
+d
r
⎮sindθ,而⎮
r
⎮⎮
r
+d
r
⎮sindθ恰好为
r×
(
r
+d
r
)的模长,则d
S
=(1/2)〔
r×
(
r
+d
r
)〕=(1/2)(
r×r
+
r×
d
r
)(向量外积分配律)=(1/2)(
r×
d
r
)。 定义面积速度
B
为单位时间内矢径
r
扫过的面积,则
B
=d
S
/dt=(1/2)
r×
(d
r
/dt)=(1/2)
r×v
。则有
L
=2m
B
,角动量
L
守恒,面积速度
B
也应守恒。面积速度守恒,即为开普勒第二定律。 ❸
拉普拉斯-龙格-楞次向量(LRL向量)
守恒: 定义拉普拉斯-龙格-楞次向量
A
=
p×L
-GMm²(
r
/r),亦简称LRL向量,有些地方也用
B
=
v×L
-GMm(
r
/r)表示,显然
A
=m
B
,两者是等价的。 d
A
/dt=d(
p×L
-GMm²(
r
/r))/dt =d(
p×L
)/dt-GMm²d(
r
/r)/dt =(d
p
/dt)
×L
+
p×
(d
L
/dt)-(GMm²/r²)〔r(d
r
/dt)-(dr/dt)
r
〕(式二⑥2和二⑥4) =
F×L
+
0
-(GMm²/r³)〔r²(d
r
/dt)-r(dr/dt)
r
〕(式三❶1、式三❷) =
F×L
-(GMm²/r³)(
r·r·v
-
r·v·r
)(式三❶1、二③、式二⑥3) =
F×L
-(GMm²/r³)〔
r×
(
v×r
)〕(式二⑤2逆用) =
F×L
-〔-(GMm/r³)〕〔
r×
(
r×p
)〕(外积反交换律) =
F×L
-
F×L
=
0
。 d
A
/dt=
0
,根据二⑦的判据,
A
为常向量,即拉普拉斯-龙格-楞次向量守恒。 ❹求拉普拉斯-龙格-楞次向量模长: dE/dt=d((1/2)mv²-GMm/r)/dt =(1/2)md(v²)/dt-GMmd(1/r)/dt =(1/2)m·2vdv/dt+(GMm/r²)dr/dt =m
v·
d
v
/dt+(GMm/r³)rdr/dt(式二⑥3) =
v·
d(m
v
)/dt+(GMm/r³)
r·
d
r
/dt(式二⑥3) =
v·F
-
F·v
=0。 dE/dt=0,即小天体的能量守恒,E为常数。 因为
L
=
r×p
,则
L
⊥
p
,⎮
p×L
⎮=pL(二③), (
p×L
)
·
(
p×L
)=⎮
p×L
⎮²=p²L²=m²v²L², -2GMm²(
r
/r)
·
(
p×L
)=-2(GMm²/r)
r·
(
p×L
) =-2(GMm²/r)(
r×p
)
·L
(向量内积交换律及式二⑤1) =-2(GMm²/r)L², 〔GMm²(
r
/r)〕²=G²M²m⁴。
A·A
=A²=〔
p×L
-GMm²(
r
/r)〕
·
〔
p×L
-GMm²(
r
/r)〕=(
p×L
)
·
(
p×L
)-2GMm²(
r
/r)
·
(
p×L
)+〔GMm²(
r
/r)〕²(向量外积分配律) =m²v²L²-2(GMm²/r)L²+G²M²m⁴ =2mL²〔(1/2)mv²-GMm/r〕+G²M²m⁴ =2mL²E+G²M²m⁴,即
A²=2mL²E+G²M²m⁴
,则A=√(A²)=√(2mL²E+G²M²m⁴)。 四、推出轨道定律 以中心天体位置点O为极坐标原点,
A
的方向为极轴方向(
p×L
既⊥
p
且⊥
L
,则
p×L
在
v
和
r
所在的平面,且
p×L
⊥
v
,则
A
在
v
和
r
所在的平面),建立
r
、
v
所在平面的极坐标系, 对
A
=
p×L
-GMm²(
r
/r)两边同时
·r
,设
A
与
r
的夹角为θ,得
A·r
==
p×L·r
-GMm²(
r
/r)
·r
, 再化得Arcosθ=(
r×p
)
·L
-GMm²(式二⑤1), Arcosθ=L²-GMm²r,再化得
r=(L²/GMm²)/〔1+(A/GMm²)cosθ〕
,此式是圆锥曲线的极坐标方程。离心率
e=A/GMm²
,半通径
p=L²/GMm²
。 ⅰ.e=0时,小天体轨道为圆轨道; ⅱ.0<e<1,小天体轨道为椭圆轨道; ⅲ.e=1,小天体轨道为抛物线轨道; ⅳ.e>1时,小天体轨道为双曲线轨道。