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向量微积分证明轨道定律

2023-06-25 01:55 作者:萌豚国宰相兼外交大臣  | 我要投稿

一、前提条件 在三维空间的宇宙中存在质量分别为M和m的甲、乙两天体。甲、乙之间的距离为r。 Ⅰ、其他天体对甲、乙两天体的引力

远远小于

两天体之间的引力,

忽略

不计; Ⅱ、甲、乙两天体的半径

远远小于

它们之间的距离r,

忽略

不计,将两天体视作质点; Ⅲ、m≪M,即乙天体质量

远远小于

甲天体,

忽略

乙天体对甲天体的引力。 在满足以上三个前提的简单二体系统中,甲天体不受力,静止不动,称为中心天体,设其处于空间中O点,易知点O为定点;乙天体只受来自甲天体的引力,称为小天体,设其位置为空间中C点,易知点C为动点。 二、需要用到的向量公式 本文用红色加粗拉丁字母表示向量,用同一个字母黑色不加粗表示它的模,如a是

a

向量的模。 ①向量内积:

a·b

=abcosθ,θ为

a

b

两向量的夹角,θ∈〔0,π〕,内积结果为标量;向量数乘:λ

a

,即实数与向量的乘积; ②向量外积:

a×b

=absinθ

e

,外积结果为向量,

e

a×b

方向上的单位向量,垂直于

a

b

所在的平面,即

e

a

e

b

,至于是垂直向上还是垂直向下符合右手定则,由于对证明无影响,此处不作说明。内积符号“

·

”(点乘)可省略,外积符号“

×

”(叉乘)不可省略。 ③由①、②可知,

a

b

同向时,

a·b

=ab,特别地,

a·a

=a²,

a

b

反向时,

a·b

=-ab;

a

b

时,

a·b

=0;

a

b

平行时,

a×b

=

0

,特别地,

a×a

=

0

a

b

时,

a×b

=ab

e

,⎮

a×b

⎮=ab。 ④向量满足加法交换律和加法结合律;内积满足乘法交换律,外积满足反交换律,即

a×b

=

-b×a

,内积和外积均满足乘法分配律,均不满足乘法结合律;另,(λ

a

·b

=

(λ

b

)=λ(

a·b

),此处点乘符号换成叉乘符号也符合。 ⑤1.

向量混合积轮换对称性

:(

a×b

·c

=(

b×c

·a

=(

c×a

·b

; 2.

向量二重外积公式

b×c

)=(

a·c

·b

-(

a·b

·c

。 ⑥如果向量

a

随标量x变化(可不变),则称

a

是关于x的向量函数;如果标量y随标量x变化(可不变),则称y是关于x的标量函数(此处定义不够严谨)。

向量微分法则

: 设

a

b

是两个关于x的向量函数,c是关于x的标量函数。 1.d(

a·b

)=d

a·b

+

d

b

, 2.d(

a×b

)=d

a×b

+

d

b

, 即都是前微后不微加前不微后微,由于向量外积不符合乘法交换律,故式2等号右边不改变加减号情况下

a

b

顺序不可变。 3.

d

a

=ada,简证:

a·a

=a²,两边同时微分(左边用式1,右边用复合函数微分法则)得2

d

a

=2ada,再同时除以2得证。 4.d(

a

/c)=〔c(d

a

)-(dc)

a

〕/(c²),即上微下不微减上不微下微再除以下不微的平方。 ⑦

证明函数值守恒的核心判据

:dc/dx=0⇔c为常数标量函数,d

a

/dx=

0

a

为常向量向量函数。 三、两个重要守恒的证明 要想证明简单二体系统中的开普勒第一定律,核心是证明两个向量守恒(向量为常向量,大小方向恒不变):

⑴角动量守恒,⑵拉普拉斯-龙格-楞次向量(LRL向量)守恒

。 ❶定义小天体的矢径

r

为由中心天体指向小天体的向量,

v

为小天体的速度,

r

v

,若

r

v

,则小天体最终会撞向中心天体; 小天体受到中心天体的力

F

,由万有引力定律得

F

=〔GMm/(r²)〕·(

r

/r),F=GMm/(r²),

r

/r为

r

方向上的单位向量,G为万有引力常数; 小天体的动量

p

=m

v

,角动量

L

=

r×p

=

(m

v

)=m(

r×v

);小天体的加速度

a

;E为小天体的能量,E=(1/2)m

v·v

+

F·r

=(1/2)mv²-GMm/r; 显然,

r

v

p

F

L

a

、r、v、p、F、L、a均为关于时间t的函数; 定义小天体的力矩

M

=d

L

/dt;加速度

a

=

F

/m=d

v

/dt,

v

=d

r

/dt;

F

=m

a

=m(d

v

/dt)=d(m

v

)/dt=d

p

/dt(式三❶1)。 ❷

角动量守恒

M

=d

L

/dt=d(

r×p

)/dt =(d

r

/dt)

×p

+

(d

p

/dt)(式二⑥2) =

(m

v

)+

r×F

(式三❶1) =

0

+

0

(二③,

r

F

)=

0

。 即

M

=d

L

/dt=

0

(式三❷),根据二⑦的判据,

L

为常向量,即角动量守恒。 顺便证明: 设小天体在dt时间内,矢径由

r

变成

r

+d

r

,位移为d

r

,转过角度为dθ,则dt时间内矢径扫过的面积dS即为

r

r

+d

r

、d

r

组成的三角形的面积,则dS=1/2·⎮

r

⎮⎮

r

+d

r

⎮sindθ,而⎮

r

⎮⎮

r

+d

r

⎮sindθ恰好为

r

+d

r

)的模长,则d

S

=(1/2)〔

r

+d

r

)〕=(1/2)(

r×r

+

d

r

)(向量外积分配律)=(1/2)(

d

r

)。 定义面积速度

B

为单位时间内矢径

r

扫过的面积,则

B

=d

S

/dt=(1/2)

(d

r

/dt)=(1/2)

r×v

。则有

L

=2m

B

,角动量

L

守恒,面积速度

B

也应守恒。面积速度守恒,即为开普勒第二定律。 ❸

拉普拉斯-龙格-楞次向量(LRL向量)

守恒: 定义拉普拉斯-龙格-楞次向量

A

=

p×L

-GMm²(

r

/r),亦简称LRL向量,有些地方也用

B

=

v×L

-GMm(

r

/r)表示,显然

A

=m

B

,两者是等价的。 d

A

/dt=d(

p×L

-GMm²(

r

/r))/dt =d(

p×L

)/dt-GMm²d(

r

/r)/dt =(d

p

/dt)

×L

+

(d

L

/dt)-(GMm²/r²)〔r(d

r

/dt)-(dr/dt)

r

〕(式二⑥2和二⑥4) =

F×L

+

0

-(GMm²/r³)〔r²(d

r

/dt)-r(dr/dt)

r

〕(式三❶1、式三❷) =

F×L

-(GMm²/r³)(

r·r·v

-

r·v·r

)(式三❶1、二③、式二⑥3) =

F×L

-(GMm²/r³)〔

v×r

)〕(式二⑤2逆用) =

F×L

-〔-(GMm/r³)〕〔

r×p

)〕(外积反交换律) =

F×L

-

F×L

=

0

。 d

A

/dt=

0

,根据二⑦的判据,

A

为常向量,即拉普拉斯-龙格-楞次向量守恒。 ❹求拉普拉斯-龙格-楞次向量模长: dE/dt=d((1/2)mv²-GMm/r)/dt =(1/2)md(v²)/dt-GMmd(1/r)/dt =(1/2)m·2vdv/dt+(GMm/r²)dr/dt =m

d

v

/dt+(GMm/r³)rdr/dt(式二⑥3) =

d(m

v

)/dt+(GMm/r³)

d

r

/dt(式二⑥3) =

v·F

-

F·v

=0。 dE/dt=0,即小天体的能量守恒,E为常数。 因为

L

=

r×p

,则

L

p

,⎮

p×L

⎮=pL(二③), (

p×L

·

p×L

)=⎮

p×L

⎮²=p²L²=m²v²L², -2GMm²(

r

/r)

·

p×L

)=-2(GMm²/r)

p×L

) =-2(GMm²/r)(

r×p

·L

(向量内积交换律及式二⑤1) =-2(GMm²/r)L², 〔GMm²(

r

/r)〕²=G²M²m⁴。

A·A

=A²=〔

p×L

-GMm²(

r

/r)〕

·

p×L

-GMm²(

r

/r)〕=(

p×L

·

p×L

)-2GMm²(

r

/r)

·

p×L

)+〔GMm²(

r

/r)〕²(向量外积分配律) =m²v²L²-2(GMm²/r)L²+G²M²m⁴ =2mL²〔(1/2)mv²-GMm/r〕+G²M²m⁴ =2mL²E+G²M²m⁴,即

A²=2mL²E+G²M²m⁴

,则A=√(A²)=√(2mL²E+G²M²m⁴)。 四、推出轨道定律 以中心天体位置点O为极坐标原点,

A

的方向为极轴方向(

p×L

既⊥

p

且⊥

L

,则

p×L

v

r

所在的平面,且

p×L

v

,则

A

v

r

所在的平面),建立

r

v

所在平面的极坐标系, 对

A

=

p×L

-GMm²(

r

/r)两边同时

·r

,设

A

r

的夹角为θ,得

A·r

==

p×L·r

-GMm²(

r

/r)

·r

, 再化得Arcosθ=(

r×p

·L

-GMm²(式二⑤1), Arcosθ=L²-GMm²r,再化得

r=(L²/GMm²)/〔1+(A/GMm²)cosθ〕

,此式是圆锥曲线的极坐标方程。离心率

e=A/GMm²

,半通径

p=L²/GMm²

。 ⅰ.e=0时,小天体轨道为圆轨道; ⅱ.0<e<1,小天体轨道为椭圆轨道; ⅲ.e=1,小天体轨道为抛物线轨道; ⅳ.e>1时,小天体轨道为双曲线轨道。

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