我心目中好的数学课的样子

突发奇想，想要谈一谈我心目中好的数学课的样子。我未必上过很好的数学课，也未必教过很好的数学课，所以只是从自身经历出发谈一谈。对于并不熟悉我的读者，我简单介绍一下自己。我在多伦多大学读完本科四年，现在在读数学博士。我在这里谈的数学课，是从初等数学，本科数学，研究生数学，一直到研究水平的数学的全部数学课。未必有一致的结论，只是随便谈一谈。

数学的旅途是趋于孤独的，因为曲高和寡，学到越上面，同行的人就越少。有的人是不想学了，有的人是学不下去了。学不下去的一个重要的原因就是再也没有上过好的数学课了。

准备一节数学课太容易了。只要学过这方面的知识，简单写一页笔记，甚至只要记下几个重要的定义、定理的名称，课上复述一遍，一小时、两小时的内容就挤满了。

准备一节数学课又太困难了。越学到上面，好的材料就越少，到最后只能参考最新的论文，甚至连教科书都没得参考；高难度的数学内容，逻辑非常复杂，定义、定理、性质的讲述顺序本身也体现了讲课人的教学水平；一节课，例子多容易打乱主线，例子少又容易迷失，只能恰到好处。

要谈论什么是好的数学课，就要有一套评价标准。要有标准，就要有目的。数学课的目的在于什么？学生总是最清楚的。可是当学生成为老师，有时反而不再清晰，这就是当局者迷的道理。或许答案非常简单，就是要教会学生。可是怎么教呢？如果教课的目的仅仅是把这一节课该教的内容都教了，那么这就把一个未知问题变成另一个未知问题了——一节课应该教什么？

这样的观点我也提过很多次。正如我们不能抛开向量空间谈向量，不能抛开拓扑空间谈开集，我们不能抛开整门课程谈其中的一节课——甚至更进一步地，我们不能抛开一套课程体系谈一门课程，我们不能抛开一个数学学习者的整体的学习、研究的顺序、目的、方向、策略而谈课程体系。所以这是一个非常艰深的问题。

在中学的时候，我们能将初等数学学得很好，有些同学或许很自满，认为自己高考分数很高就可以说自己“数学很好”。等到大家学习了数学分析和高等代数，又会意识到高中数学只是皮毛，又或者是简单的各领域的基础介绍。到这个阶段，有些考研数学分数很高的同学或许会认为自己“数学非常好”，因为题目并不容易，准备考研通常要花很长时间。实际上，考研数学的内容也并不广泛，在更多的情况下也只是数分、高代、概率论与数理统计这些课程。只从本科数学的课程体系来说，这些课程也往往是非常基础的——并不是说不重要，只是说它们绝对只是学好数学的必要非充分条件。紧接着，有的同学把本科的数学学得非常好，绩点非常好看，无论是分析、代数、几何的基础都非常扎实。这个时候，我们可以说自己“数学很好”了吗？或许到这里大家还没有资格这样说，因为再往后，这些课也只是现代数学的基础而已。没有学懂这些课，连现代数学的大门也进不了。就算全部学明白了，这些内容本身也很难产生重要的结果。到了研究生阶段，有的同学解决了一些问题，写了毕业论文，拿到了博士毕业证书。这个时候，难道数学就“学好”了吗？这个时候，这些同学的数学水平当然已经超越了全世界绝大多数人，或许可以说是全世界数学最好的一批人。实际上，这样的人也很多，说句实话能够读到数学博士的人，或许也不需要多么“拼命”，就可以顺利地博士毕业——博士毕业是不困难的——困难的是做出重要的成果。到最后，我们或许可以得到一个结论，那就是好的数学在于好的结果，在于将数学这一门学科向前推进一点，在于解决一些大的问题，或者提出一些重要的问题再解决。

在这样的高观点下，我们再回过头去审视数学课，就会意识到我们对数学课的认识有多么欠缺了。课程的意义是让不懂的学生最终学懂一些知识，离尽可能远的目标更近一点。有时，有的数学课太过于片面了，只看到了自己所处的阶段的内容。有的数学分析课程会完全不提实分析或复分析的一些基础，有的交换代数课程会完全不提代数几何的内容。往低了说，有的高中一年级的数学课完全不提高中二年级的数学内容。这都是不好的现象。一个人可以懂得不多，但是至少视野不能狭窄。并不是学好了现在要学的一门功课，考好了现在要考的考试就足够了的。这个观点或许并不是容易接受的，因为很多时候，只是要完成眼前的事情就已经精疲力尽。但是实际上，有多少人又真得能不愧对良心地说，自己已经尽心尽力做事了呢？所以我还是认为，完成自己当下该做的事情，根本不是一个目标。一方面做好自己该做的事情（无论是外界环境告诉你的，还是你自己告诉自己的），另一方面为自己的未来的学习、科研、工作等做好充足的准备，这样才能说是尽心尽力。当然，一门课程如果过多地僭越学生的认知水平，不加限制地谈论后面的课程，这当然是错误的选择。一门数学分析的课，如果过多地谈论实分析，就有偏离主题的嫌疑。讲高中数学如果将所有内容放在一起串讲，那么要么是作者水平极高，要么就是完全的混乱无序。

我们把上面的观点总结一下，就是讲一门数学课，应该将这门课本身的内容作为主要内容，将未来和这门课相关的内容作为延伸，有时可能延伸会更广一些。

从老师的角度来谈这个问题，我想到的是备课的时间占比的问题。一节好的数学课，总是要花很多时间准备的，这个或许不会引起争议。有的数学课不用过多准备也能讲好，那是因为这名老师已经讲了无数遍，这一块知识的教学早就滚瓜烂熟了，可是当这名老师刚教第一遍的时候，总还是要花很多时间准备的。考虑到很多时候，同一门课讲的次数越多，提升的量就越小（边际效应），如果我们以课程体系的完整性作为目的，或至少是阶段性的目标，那么或许一个更明智的选择是在课程还不完善的情况下多开设一些课程。当然，由于每一门新的好的课程都需要更多的时间和精力，这样做是非常消耗能量的。可是这也是正常的——任何重要的工作都来自于长期持续的高质量的努力。学习如此，科研如此，教育也如此。我们不可否认的事实是，如果一门课精雕细琢，反复钻研，那么一定可以在可见的未来将这门课的水平提升到可以想象的非常高的高度。而这样做要付出的代价是巨大的，那就是更多的课程的教育学的探索会是一片空白——至少是比较纯粹的灰色。

在实践中，有多少数学课是花了很多时间细心准备后才教的呢？又有多少课是随便找一本书，按照顺序一条一条讲下来的呢？甚至有的时候，连板书也不愿意思考，直接照抄教科书。这样的数学课一定是令人痛心的。即便在非常好的学校，也不能说这样的事情不会发生——只是发生的概率更低一点。

我们并不是为了批判什么而讨论这个话题，只是为了知道什么是好的数学课，我们必须要承认不好的数学课的存在，并且要了解、熟悉、完全清楚不好的数学课是什么样子。在这个基础上，我们才能做一些推进，让我们的数学课的质量提升。

正如科学研究，一点点的进展在起初常常是微不足道的。就连作出贡献的数学家有时也不了解自己的工作的意义。可是未来，当这样的工作被应用到更大的领域中成为基础引理后，意义就非常自然了。数学课的质量能够比你遇到的大多数数学课都要高了，虽然并不是多么值得骄傲的事情，但仍然是做出优质的数学教育的一个基础。诚然，我教的数学课有很多很多问题，离真正的完美差了非常多。但是一个是我并不能在短时间做到完美，另一个是我希望在这个阶段，更多地照顾到更多的课程。毕竟在很多数学的领域，全网都没有多少看得过去的数学课。我们在这些地方做一些贡献，其实就是做了很大的贡献。

站在未来的视角，我非常期待并且希望将来的老师们，把课程做得更好，远远地超过我，超过我们。我也希望这样的超越是困难的——因为我们都是尽全力做好的，如果轻而易举就超越了，不是显得我们不够努力吗。等到百年以后，我们做的东西大概率不再是主流。等到几百年、上千年以后，我们的教科书和一切材料几乎都不会被多少人注意到。那我们做的一切的事情，意义在什么地方呢？我是这样想的。假设按照历史的进程，后世达到1000分的好的数学教材要在1000年后出现。因为我们一生的坚持和贡献，后世达到1000分的好的数学教材在500年后就出现了，那我们其实就是推进了500年。所以就算他们不再用我们的材料，甚至连我们的名字也忘记了。只要内容以某种形式传承了下去，那就是一种成功。代数这个词Algebra，是来自花拉子密。没有这些数学家记录下来当时的数学成就，或许科技的历史将会迟到很久。今天，我们最不缺的就是教学材料。当然，我们很幸运，千百年前，甚至只是几十年前，人类都没有这样的能力在短时间内获取到大量信息。不过很遗憾，在这些材料中，“好材料”是很少的。同样地，现在我们并不缺数学课。不过很遗憾，在这些数学课中，“好数学课”是很少的。我们要做的事情就是做一些好的数学课。当然，也不止数学课。这些课的存在就是为了超越和被超越。被超越也很重要，不够好，连超越的必要都没有。

我认为我们今天做到的一件事，也就是过去几年都没有做到而今天能做到的，就是做了一些好的数学课。我们都知道，一个人能做好一件事情，就能做好每一件事情。我们可以自然地把“一个人”推广成“一个组织”，甚至一个更大的人类群体。

要知道什么是好的数学课，就必须首先认清什么是不好的数学课。一方面嗤之以鼻，另一方面也要从中找到好的部分，找到闪光点加以学习。我认为完全不好的数学课是不存在的，正如完全好的数学课也是不存在的。比起绝对的接受或批判，我们要辩证地去看。一节数学课是这样，一套课程体系是这样，一个人的全部学习、科研和教育也是这样。总有好的地方，总有不好的地方。放在一起横向比较，总有的人做得比其他人更好，有的人做得比别人更差。或许是多维度的，或许不存在一个全序，至少在每一个侧面，每一个角度都应当有一个全序。我们看问题要立体地去看。

防止后面的讨论要偏离主题了，就做一个总结。最不负责任，倒也合理的总结就是事在人为。用心、坚持的人才能做出好的数学课。要达到这一点是极其困难的，这或许是一个值得我们研究一生的问题。