欧拉线证明

日本著名数学家小平邦彦曾经用向量的方法证明欧拉线。今天我们来看看他是怎么证明的。 欧拉线定理指的是一个三角形的外心，重心，垂心共线且外心到中心的距离是重心到垂心距离的一半。 首先我们画一个圆，这个圆有个内接三角形，圆心就是三角形的外心。 设三角形的三个点为A，B，C，向量而这个圆的半径为1，向量OA，OB，OC模都为1。 接着我们设D为三角形ABC重心。 向量AD=1/3(AB+AC) OA+AE=OA+1/3(AO+OB+AO+OC) 不难算出向量OE=1/3(OA+OB+OC) 然后我们设E为三角形垂心，设AB中点为F，EM垂直于AB，连接EF延长交圆于G，连接GO，OC，FO由于OF和CE都垂直AB，那么OF平行CE，三角形GOF相似三角形GCE。 因为GO是GC的一半(直径与半径)，所以OF是CE的一半。 向量OF=1/2CE， 向量OE=OC+CE=OC+2OF=OA+OB+OC 因为OD=1/3(OA+OB+OC)， OE=OA+OB+OC，所以OD=1/3OE，得出三角形的外心，重心，垂心共线，且外心到重心的距离是重心到垂心距离的一半。