浅谈集合稠密性

我们知道，如果一个集合与一个元素的任意一个开集（不包括边界点的集合）的交集都非空，那么我们称这个集合对于该元素稠密。如果任意一个集合是一个空间的子集，而且对于该空间的任意元素都稠密，那么我们称集合在这个空间中稠密。比如有理数集在实数空间中稠密。

这是稠密性的严格定义，听上去有点晦涩难懂，那我们就来说说容易理解的。所谓稠密，意思无非是非常非常密集，中间可以插入无限多个元素。那么在此基础上，我们就能知道集合稠密性是怎么回事了。设X，E为满足E包含在X内的两个集合，对于X中的任意一个元素，我们总可以在X的所有元素中找到属于E的元素，且这些元素距离无限小，无限逼近。这时我们就可以说，E在X中稠密，是为集合的稠密性。注意这里要先满足E在X中，再考虑元素无限逼近的情况。

我们举个例子，有理数集Q在实数集R中是稠密的 因为Q包含在R内 ，且任对于R中一元素， 都可以找到有理数 ，使他们互相间的距离充分小，所以Q在R中稠密。

归根结底，稠密本质就是可以插入无限个元素，数轴也好，向量空间也好，拓扑空间也好，万变不离其宗。这里简单了解就好，不用太纠结。实数理论不是工科生必备知识，拓扑也是很久以后的事了。