证明“lim[ f（x）±g（x）]=lim f（x）±lim g（x）”
牛顿317、证明“lim[ f（x）±g（x）]=lim f（x）±lim g（x）”
2021年1月5日，网友“稻草人”发表名为《极限——极限运算法则证明》的图片文章。
…极、限、极限：见《欧几里得218~303》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…运、算、运算：见《欧几里得121》…
…法、则、法则：见《欧几里得108》…
…证、明、证明：见《欧几里得6》…
图片内容：…
…内、容、内容：见《欧几里得66》…
定理3：
如果lim f（x）=A，lim g（x）=B，那么
（1）lim[ f（x）±g（x）]=lim f（x）±lim g（x）=A±B
…lim：limit…
[…limit（英文）：n.限度；限制；极限；限量；限额；（地区或地方的）境界，界限，范围
v.限制；限定；限量；减量…]
证明：∵（因为）lim f（x）=A，lim g（x）=B
根据“在自变量的同一变化过程x→x0（x→∞）中，函数f（x）具有极限A的充分必要条件是f（x）=A+α，其中α是无穷小”（证明见《牛顿309》），得到：
f（x）=A+α，g（x）=B+β
…α：Alpha（大写Α，小写α，中文音译：阿尔法、阿拉法），是第1个希腊字母…
…β：beta（大写Β，小写β，中文音译：贝塔），是第2个希腊字母…
于是 f（x）±g（x）=（A±B）+（α±β）
根据“两个无穷小的和是无穷小”（证明见《牛顿315》），得：
α±β是无穷小。
根据“在自变量的同一变化过程x→x0（x→∞）中，函数f（x）具有极限A的充分必要条件是f（x）=A+α，其中α是无穷小”，得：
lim[ f（x）±g（x）]=A±B=lim f（x）±lim g（x）
（2）lim[ f（x）g（x）]=lim f（x）lim g（x）=AB
证明：∵ lim f（x）=A，lim g（x）=B
根据“在自变量的同一变化过程x→x0（x→∞）中，函数f（x）具有极限A的充分必要条件是f（x）=A+α，其中α是无穷小”，得：
f（x）=A+α，g（x）=B+β
∴ f（x）g（x）=（A+α）（B+β）=AB+βA+αB+αβ
∵ 常数与无穷小的乘积是无穷小，有限个无穷小的乘积是无穷小（证明见《牛顿316》）；两个无穷小的和是无穷小（有限个无穷小之和也是无穷小）。
∴ βA+αB+αβ是无穷小。
∵ 在自变量的同一变化过程x→x0（x→∞）中，函数f（x）具有极限A的充分必要条件是f（x）=A+α，其中α是无穷小。
∴ lim[ f（x）g（x）]=AB=lim f（x）lim g（x）
两个无穷小的乘积为无穷小，怎么证明？——网友提问
…无、穷、无穷，小，无穷小：见《牛顿280》…
…积：见《牛顿19》…
Dec12（编辑于2019-10-31，11 人赞同了该回答）：这是显而易见的事情，如果要证明的话也很简单：
…简、单、简单：见《伽利略13》…
（…《伽利略》：小说名…）
设f（x）和g（x）都是x→o时的无穷小，
则对任意ε
存在δ1＞0，0＜x＜δ1时，|f（x）|＜ε
存在δ2＞0，0＜x＜δ2时，|g（x）|＜ε
…ε（伊普西龙）：希腊字母第五个字母，大写Ε，小写ε，拉丁字母的E是从ε变来…
…δ（希腊字母）：Delta（大写 Δ，小写 δ），是第四个希腊字母…
取δ＝min｛δ1，δ2｝
0＜x＜δ时，|f（x）×g（x）|＜ε^2
…min{，}：取{，}里面最小的值…见《牛顿315》…
…^：乘方…
…ε^2：ε的平方…
用无穷小定义判断，x→0时，f（x）×g（x）为无穷小。
[无穷小
定义1 （直观定义） 绝对值无限减小的变量称为无穷小。
定义2 （直观定义）
对于任给的正数ε（无论它多么小），总存在正数M，使得不等式|x|＞M的一切x对应的函数值f（x）都满足不等式|f（x）-f（x0）|＜ε，则称函数f（x）为当x→x0（或x→∞）时的无穷小量。
定义3
对于任给的正数 ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得不等式0＜|x-x0|＜δ的一切x对应的函数值f（x）都满足不等式|f（x）-f（x0）|＜ε，则称函数f（x）为当x→x0（或x→∞）时的无穷小量。
——《牛顿314》]
有限个无穷小的乘积是无穷小怎么证明？——网友提问
予一人（发布于2019-09-27，8人赞同了该回答）：
假定α1，α2，…，αn是某过程下的无穷小，即
lim α1=lim α2=…=lim αn=0
…过、程、过程：见《欧几里得194》…
于是，利用极限乘法法则，在同一过程下，有
lim（α1α2…αn）=lim α1·lim α2…lim αn=0
这即表明α1α2…αn仍是无穷小。
“定理：如果（x→x0）lim f（x）=A（A≠0），那么就存在着x0的某一去心邻域u（去心）（x0），当x∈u（去心）（x0），有|f（x）|＞|A|/2。
请看下集《牛顿318、函数极限的性质证明》”
若不知晓历史，便看不清未来
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