紧度量空间的运算 1

定理   设X，Y是度量空间，f；X→Y是连续映射。若X是紧的，则f（X）也是紧的。

推论   紧空间的连续像是紧的。

定理    设X是度量空间，Y是X的子空间，则

(1)  如果Y是X的紧子集，则Y是X的闭子集。

(2)  如果X是紧空间且Y是X的闭子集，则Y是X的紧子集。

推论   设X是紧度量空间，Y是度量空间，若  f ； X→Y连续，则 f  是闭映射。

推论   设X是紧度量空间，Y是度量空间，若f；X→Y是一一对应且连续，则f；X→Y是同胚映射。

推论  设X是非空集合，d，ρ分别是X上的两个度量，若（X，d）是紧的且Tρ⊂Td，则Td=Tρ。

定理   设（Xn）n是一列（有限或无限）度量空间，X是其乘积，则X是紧的充分必要条件是每一个Xn都是紧的。

定理   度量空间中任意有限个紧集的并是紧的，紧集和闭集的交是紧的。

例子  I=【0，1】是紧的，从而R中任何闭区间都是紧的。

定理     度量空间中的紧集必为有界集。

定理    n维 Euclidean （R^n，d）中的子集A是紧的充分必要条件是A是（R^n，d）中的有界闭集。