《高等数学》同济版 全程教学视频（宋浩老师）

• 极限
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  1.6 极限存在准则 两个重要极限 P12 - 01:03

  
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• 使用条件
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• 多项式的除法---逐步消掉最高项

1. 空出来的是给没有三次方的位置

复合函数求导

定理：

例题：

做题用这个 用这个必须能看出谁是谁的函数

高阶导数

为什么要这样表示 避免有歧义

例题五当公式记下

隐函数求导

隐函数---y是x的函数，但是无法直接表示出来/用表达式写出。

隐函数求导，直接两边同时对x求导。

例题

积分上限函数求导

• 第一类积分法---将被积函数提到微分（d）里面。

关键在于猜？如何猜呢---看看被积函数里有没有类似的可以求原函数。

• 例一

• e*x*2---类似可以求原函数的函数是e*x。
• 所以我们需要凑出d（x*2）
• 例二

• 类似这种分母胖的，我们可以代换掉。

1. tips：积分前的系数可以直接提到微分（d）里面。
2. tips：在微分（d）的里面加减常数任意进行。

• 例三

• 一般这样类型的函数外头是偶次方我们用倍角公式，外头是奇次方我们提出一个把单独的提到微分里面。

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• 以上是奇次方，以下是偶次方

• 积化和差公式

• 想不到的就当结论记下来，因为那一般说明非常规的方法。
• 数学的有趣性在于你永远不知道可以怎么组合你所知道的知识。

• 第二类换元法： -----将微分（d）里面的抽到被积函数里面。

• 换完了之后，最后结果要记得换回来，因为我们求的是过于x的解析式。
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1. 分母次数高于分子次数：倒代换

分布积分



1. 分部积分，考虑向d后面拿的优先级。
2. 分部积分一般都要用两次以上才能得到答案，每次都遵循第一条规则，且注意第二次用时，必须将d后面的导出来，变成dx的形式再用分部积分。

1. 记住lnx的原函数

• 有理函数的积分---指的是有理分式的积分

1. 注意，m，n指的是最高次数，且m指的是分子的次数n指的是分母的次数
2. 
   

• 若分子的次数大于分母的次数则可以用分式除法。
• 若分子的次数等于分母的次数则可以分解分式。

3.所有有理分式都是化成m<n的形式

所以当分子次数小于分母次数，且解题方法有

1. 当分子为常数，分母为一次

• 最高一次时，能在d内凑出
• 分母能够因式分解，分解因式，再凑
• 分母不能因式分解的，先配方，配方后常数是正的，再凑
• 分母不能因式分解的，先配方，配方后常数是负的，

1. 分母是二次的，分子是一次的

• 我们可以把分子分解出常数和可积的（d内与分母相同）

1. 分母是高次的

可化为有理分式

定积分求旋转体的体积---

主要是找横截面是什么图形

• 微分方程
• 有导数的方程就叫微分方程
• 阶指的是微分方程中含有的导数是几次导，几次导就是几阶。

最高阶导数一定有，其它不一定有。

• 初值条件：刚开始给的条件
• 微分方程的解：代进去成立的就是微分方程的解
• 通解：含任意常数的个数 = 微分方程的阶
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*关于积分的一些小提示。

1. 被积函数是三角函数的时候，尽量化为一次的。
2. d内要凑出相对应的三角函数