上周组会讲到了条件稳定，忽然想起Ivanov书中的相关内容，于是又重新翻了翻书，看看以前没有理解到位的地方。

条件稳定特指波特图中的一个特定情况，奈奎斯特围线两次穿过(-∞, -1)，此时系统是稳定的。

奈氏围线可以转化为波特图，可以看到出现了相移180°且增益大于1的点，这个点是满足巴森豪克准则的，然而根据数学推导，系统不会震荡（例子是一个带内有三极点两零点的系统，满足相位裕度45°）。

为什么叫条件稳定呢，显然是因为在某些条件下它不稳定，所以Ivanov重点研究了一些电路在什么条件下不稳定，这一小节标题叫Conditional instability。下面是Ivanov对条件不稳定的介绍：

Conditional instability Conditional instability is probably the second, after ESD protection failures, cause of “bad silicon”, and is not predicted by AC simulations. Externally it appears as low frequency (few orders below unity-gain frequency) oscillations with large amplitude. These oscillations frequently occur in the biasing core and then propagate through the system. The tracing of their exact origin may be difficult.

上面这个例子中，如果增益在某些情况下减小，幅频曲线整体向下移动，那么相位裕度是减小的，不利于稳定，比如非线性情况下。

图中放大器gm2的输入范围小，而gm1的输出范围大，这可能导致非线性，从而使幅频曲线向下冲到0dB的姿态发生了改变，不再是-20dB/dec，导致了不稳定。

Ivanov还举了另外一个基准上电启动的例子，这个例子在缓启动的时候是稳定的，但如果VDD上电太快就会产生振荡，他也称之为条件不稳定：

该电路跟普通运放型基准的区别在于运放本身的偏置来源于该基准本身，而不是再用另外的基准电路，这样的自偏置形成了正反馈，但它是稳定的，原理如下。

M8-M3-M4-M7自偏置运放形成正反馈，用局部反馈的观点看这个正反馈的话，该正反馈内嵌了M5M6-M0M1-M4-M7的负反馈，虚短虚断使得M7的vgs趋于0，所以正反馈的环路增益其实远小于1，不会产生振荡。

如果调换环路分析的顺序，先分析负反馈再分析正反馈，可知这个环路增益趋于1的正反馈会等效地提升运放的增益（然而并不会提高PSR），虽然正反馈趋于1，但它加强了负反馈，环差的乘积与先分析正反馈后分析负反馈的情况完全相同。

Ivanov指出，该启动方式在快速上电的时候会有震荡的可能。

Such behavior may, for example, occur in the biasing circuit of fig. 3-1. During start-up, when a supply voltage step is applied, the voltage at the node g4 of the stage M0/M1 can be close to zero (the compensation capacitor is not charged), and M4 is off. Then, due to the delay in the feedback loop, the voltage Vg4 can rise too high and increase the gain in the loop so that the loop becomes unstable (usually this is indicated by a very high current in the biasing core). Then the negative feedback with increased loop gain turns the transistor M4 off, reducing the voltage Vg4 to zero, and the oscillation starts. This oscillation is shown in fig. 4-18. The same circuit can be perfectly stable if started softly, by a slower increase of the power supply voltage.

大致意思是，由于反馈环路的延迟，M4的gate电压会有个很大的过冲，正反馈的环路增益会很大，现象就是Bias的一个大电流脉冲，从而引起了振荡。如果缓启动，VDD慢慢从0升上来，就不会有振荡的问题。因为快速上电的条件下电路不稳定，所以他也称为条件不稳定。

我跑了一下仿真，仿出了一模一样的波形。电源的上升时间为0.1us。

当电源上升时间为10us时，振荡现象消失。

对此，Ivanov提出了改进措施：

Suppression of this kind of oscillation can be done by the following methods:

• clamping the first stage output voltage so its signal limitation will better match the input linear range of the following stage (M8 in fig. 4-19a);

• 换用不同的启动电路，对M4的gate进行钳位（图4-19a中的M8，此钳位只在启动过程中起作用，启动结束后进入截止状态）。

• expanding the second stage linear range (for example, with source degeneration resistor R1 in fig. 4-19b);

• 对M4增加源极电阻，减小M4的等效跨导，增加线性范围（平方律变化太大，加个电阻可以使平方律变成线性的）。

• expanding the frequency range of -20 dB/dec slope of open-loop frequency response (with a larger capacitor C0, for example) so the circuit is stable with wider gain variations.

• 加入大一些的C0。

若将自偏置换成另外支路的偏置，也不会有问题，说明振荡就来源于这个正反馈。问题是为什么快速上电的条件下才会产生振荡呢？Ivanov的回答是反馈环路的延迟。我对这句话的理解是：由于此时负反馈还没来得及建立，抑制不住正反馈，所以一下子就振荡了。

问题出在M2和M3这里，当g5被拉低，偏置管导通，M0和M1将g5的变化传到g3和g4，但是g4此时是个高阻，很容易被M1拉上去。本来g4这个点应该是M1和M3同时拉动的，M1往上拉，M3往下拉，但是由于信号的延迟，M0-M2-M3传递过程比M1直接传到g4要慢，所以M3还处于截止状态。g4一下子被拉上去，则g5又被拉得更低，产生了大电流脉冲。这个大电流脉冲被M5M6检测到，s1和s0也会有个脉冲，但是s1上变化更大，这会导致M1的截止，偏置管的大电流全部流经M0，传递到g3点，使g3点很高，于是g4又只有M3将它连到地，迅速放电到0。

而g3点很高会导通M10管，使得启动电路M9关闭，g5不在被连到地，M8会趋于截止，电路会进入短暂的静止状态，直到g3上的电压被缓慢消耗掉，M10截止，M9继续导通，又会激发g4的高脉冲，以此循环往复，形成振荡。

若在g3到地之间加入一个稍大一些的电容，那么对于10us的缓启动也将振荡。这证实了上面的说法。缓启动能缓解Vg4的快速跳变，可以等待g3信号的到来，不会引起剧烈的振荡。

正常启动应该是g4点先跳高，然后g3点升高，把g4点拉下来一些但是不会完全拉到地，这样M4管还是有电流，启动电路关闭，电路正常工作。快速上电的问题在于电路的反应过于剧烈，使得g4先特别高，然后强烈的正反馈使得g3又特别高，并且负反馈调节M0和M1也过于剧烈使得M1截止，一强一弱直接把g4灭了，同时也把启动电路灭了，偏置管就没有电流，从而该次启动失败。

其实电源上升过快只会导致第一次启动失败，第二次及以后的振荡都是因为启动电路导通过快导致的。

观察缓启动的过程，负反馈起作用的时候，vg4会有一个下降过程，这个下降过程不能冲过头。

按照“负反馈环路的建立要先于正反馈环路”这个想法，上面的一些措施可以得到解释：

1、换用不同的启动电路，对M4的gate进行钳位。

1的方法实质是减小了正反馈，上电时g4不再是高阻点，增益也就没那么高了，电路不会有剧烈的变化。

2、对M4增加源极电阻，减小M4的等效跨导。

2的方法同样也是减小了正反馈，尤其是g4点大跳变过程中，M4管原来电流是平方律增加的，加个源极电阻就是线性增加，但是这样同样也会降低PSR，对原本的电路参数有影响。

3、加入大一些的C0。

3的方法也是抑制了g4点的波动，使g4点不是那么容易被拉高的高阻态，从而抑制了剧烈的正反馈。

最后总结：

It is easy to fix the conditional instability problem when it has been detected and traced to its origin. But there is no universal recipe for detection of all unforeseen nonlinear effects. The meticulous simulations of circuit transients, in all possible modes of operation, may help to solve these problems. These simulations take a lion’s share of the overall design time.

瞬态的建立过程是复杂的。不同于小信号的分析，瞬态变化下，晶体管的工作状态很模糊，所以只有通过不停仿真才能找到问题，然后去定位、找到解决的办法。

（有感：Ivanov的书可太有意思了）