一周没更新专栏了，正在写的还要一阵子，翻了翻箱底随便放点东西出来吧。

纯属本人之前为了整理思路而摸索的足迹，有许多不当之处，仅供参考。因为复制粘贴时一些word的角标格式不能实现，有些地方可能不是很清楚。懒得慢慢校对了2333

前言（并没有写前言）

1 初等代数

1.1 四则运算

基本概念：计数法则（函数）、数集。

函数：按某种法则，给定分别在某数集上有定义的自变量X、应变量Y，对自变量所处的集合每一个元素都能在应变量的集合中有唯一确定的元素相对应，则称Y是（关于）X的函数。

数集：元素是数字的集合。

定义域：函数中全体自变量组成的数集。

计数：加法    数集：正整数

X + a = b  其中X、a、b均为正整数。

注意X和a是可交换的，即X + a = a + X。

引入：方程和求逆运算

方程：含有待求变量的等式。

由方程和函数的概念引入逆运算（反函数）。

对于X + a = b，给定正整数a、b，由减法得X = b – a；注意到对某些给定的正整数a、b，并不能在正整数域中找到X值。由此根据实际意义需要拓展原有的数集概念，并在新的定义域上完善相关的运算法则。

计数：加法、减法      数集：整数

X + a = b  X = b – a  其中X、a、b均为整数。

整数包含：正整数，负整数，零。

定义乘法为若干个相同的整数的和，记为Y = a*X，其中a为正整数，X为整数。显然Y是整数。

注意X和a是可交换的，即a*X = X*a。

由此容易得到将a扩展到整数的乘法。

现定义除法是乘法的逆运算，即：Y=X/a，X=a*Y，其中Y为整数，a为正整数。这里注意到对某些给定的Y、a，不能从正整数中找到对应的X满足等式。

定义分数：X = b/a，其中a、b为整数。一般认为b不是a的整数倍。

这里要特别注意没有限制条件下a = 0是没有意义的。

可将加法、减法、乘法的定义域拓展到分数集。

定义有理数集是整数集和分数集的并集。

计数：加、减、乘、除    数集：有理数

对四则运算的复合有以下运算定律：

( a + b ) * c = a*c + b * c

b/a + d/c = ( b*c + a*d ) / ( a*c )

( b/a )*( d/c ) = ( b*d ) / ( a*c )

( b/a ) / ( d/c ) = ( b*c ) / ( a*d )

其中a、b、c、d均为整数，作除数时不为零（一般都认为该分式有意义）。

习题1.1

1.       由加法的交换律证明乘法的交换律。

2.       证明由有理数的有限次四则运算所得的数仍是有理数。

1.2 指数幂

定义整数次的幂函数：将t个有理数X相乘得到的结果Y，Y为X的函数，记为Y = Xt，其中t为正整数，X为有理数。显然Y为有理数。

注意在幂函数Y = Xt中X、t是不可交换的。

补充运算定律：

X( a + b ) = Xa * Xb

Xa*b = ( Xa )b

( x1*X2 )a = x1a * X2a

容易推得：X-a = 1/( Xa )

即可将Y = X^t中的指数t拓展至整数集。

但是将其中的指数t从整数集拓展至有理数集却不简单。

例题1.2.1  证明：根号2不是有理数。

证    设X = 根号2，即X^2 = 2 。

假设X是有理数，不妨设X = a/b，a、b为互质的整数。

则有a^2 = 2 b^2 ；2b^2显然是偶数（2的整数倍），则a2也是偶数，则a必是偶数。

设a = 2m，m为整数。则有 ( 2m )2 = 2b2，化简得2m2 = b2 。

由此得b2是偶数，则b必是偶数。

但a、b是互质的，即a、b不可能同时为偶数。

故假设不成立，即根号2不是有理数。

 

可能有人会认为根号2比较特殊从而方便了证明。

例题1.2.2  证明：根号3不是有理数。

证    设X = 31/2，即X2 = 3 。

假设X是有理数，不妨设X = a/b，其中a、b为互质的整数。

得a2 = 3b2 。分类讨论：

b为偶数：则3b2为偶数，则a必是偶数，这与a、b互质相矛盾。

b为奇数：则3b2为奇数，则a为奇数。

不妨令a = 2m+1，b = 2n+1，其中m、n均为整数。

代入得 (2m+1)2 = 3(2n+1)2

即 m2-3n2+m-3n = ½

因为m、n均为整数，所以m2-3n2+m-3n必是整数，则等式不成立，即假设不成立。

综上，根号3不是有理数。

 

这是将等式进行变换后让两边的代数式的值域没有交集从而证伪的手段，但它并不能比较简易地证明所有对正整数开n次根方得到的都不是分数。

比如现在尝试证明31/3不是有理数。

设X3 = 3，若X为有理数，不妨令X = a/b，a、b为互质的整数。则a3 = 3b3。

a、b不可能同时为偶数，则只有a、b均为奇数时满足等式。

令a=2m+1，b=2n+1，其中m、n为整数。

得 ( 2m+1 )3 = 3*( 2n+1 )3

整理得 4m3 + 6m2 + 3m = 3*( 4n3 + 6n2 + 3n ) + 1

不能直接通过两边代数式值域无交集得到证明。

定理1.2.3  正整数的质因分解式是唯一确定的。

这是数论中一个重要定理，此处不记其较为深奥的证明过程。

由这项定理就很容易证明各种由y = xt得到的数不是分数的问题了。

比如上面的证明31/3不是有理数，对于a3 = 3b3，因为a、b是互质的，不妨设a = p1p2…pm，b = q1q2…qn，其中p、q为质数且取任何的p、q，p、q都不等。（认为a、b是正整数）

代入得 p13 p23 … pm3 = 3 q13 q23 … qn3，不符合定理。

 

一般将y=x1/n视为关于x的函数（n为偶数）时规定y取正值（算数根）。

如果不能拓展现有的数集并完善相关的运算法则，就不能很好地使用所定义的各种函数了。当然可以通过计算去得出一些数字的近似值，比如21/2 约为1.414，对1.414平方得1.999396，和2相当接近。从最简单的近似估计可以得到一些无限不循环小数（无理数），通过函数在某区间上单调递增或者递减，然后对区间不断细分，从而得出近似值，当这一细分过程趋于无限时所得的结果就趋于精确值。这涉及到微分的思想，后面章节再详细论述。由有理数和无理数组成的实数集包含了所有”可测得长度”的数字。

回到前面幂函数的内容。对于Y = Xt，把Y看成X的函数就是幂函数，看成t的函数就是指数函数，如果将t看成Y的函数就是对数函数，记为t = logXY。

计数法则：四则运算、幂函数、指数函数、对数函数    数集：实数

习题1.2

1.    考虑y=xt，x、y、t均为正整数；证明：

(1)  若y为奇数，则x必是奇数。

(2)  若y为偶数，则x必是偶数。

2.    证明21/n不是有理数，其中n为正整数。

3.    证明根号n都不是分数，其中n为正整数。

4.    证明无限循环小数是分数。

5.    证明log23不是分数。

6.    指出对数函数t=logXY的定义域。

7.    推算对数函数的以下运算法则：

(1)  loga(bc)和logab、logac的关系

(2)  loga(mn)=n*logam

(3)  logab=(logeb)/(logea)

1.3 多项式方程

多项式：形如a0 + a1X + a2X2 + … + anXn的算式，其中把X当作变量，n为正整数。

规定多项式的次数是其最高次项的次数。

形如aX+b=0的方程为标准化的一元一次方程，其求解公式为X=-b/a。

形如Xn=C的方程容易解得X=C1/n。（n为整数）

对n次的多项式方程，理想的方法是化为tn=C的形式，其中t=aX+b。

例题1.3.1  求一元二次方程aX2+bX+c=0的求根公式。

解    X2+(b/a)X=-c/a

( X+b/(2a) )2 = -c/a + b2/(4a2)

x1=-b/(2a)  + ( b2-4ac )1/2/(2a)

X2=-b/(2a)  -  ( b2-4ac )1/2/(2a)

当b2-4ac > 0时，方程有两个不同的根；

当b2-4ac = 0时，方程有两个重根；

当b2-4ac < 0时，方程没有实数根。

 

三次和四次的一元方程也有类似的求根公式但远比二次的要复杂；五次及更高次的方程不存在一般的求根公式，这个问题涉及到群论的概念。

例题1.3.2  求方程( X-1 )( X+2 )( X-3 )( X +4 )=0的解。

解    因为乘积得0的因式必至少一项为0

故得解为x1=1  X2=-2  X3=3  X4=-4

 

显然这种形式的方程求解是非常简便的，如果展开为标准的多项式再求解就很复杂甚至没有一般的求根公式。

通过观察不难发现对一元n次方程求解得到的根总是有n个的（包含重根）。

代数基本定理

任何复系数一元n次方程在复数域上至少有一根。（n为正整数）

 

由此推出复系数一元n次方程在复数域上有且只有n个根（包含重根）。

补充：复数是由实数和虚数组成的数集。

虚数集：a*i，其中a为非零实数，i=(-1)1/2 。

补充一些公式：

a2-b2=(a+b)(a-b)

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

(a+b)n=c1an + c2an-1b + c3an-2b2 + … + cnabn-1 + cn+1bn，其中n为正整数，c为系数，可由杨辉三角的第n+1行取得c的序列。

杨辉三角：

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

…

韦达定理（根与系数的关系）

设一元n次方程anXn + an-1Xn-1 + … + a1X + a0 = 0的根为x1、X2...Xn，则有：

x1 + X2 + … + Xn = -an-1/an

x1X2…Xn = (-1)na0/an

 

习题1.3

1.       求2X2 + X – 3 = 0的根。

2.       求8X5 + 16X4 + 8X3 + 27X2 +54X + 27 = 0 的实数根。