很水的数学分析117：同胚映射

#练习生打卡

1.补充两个命题：

连续性的局部表示、粘接引理。

①连续性的局部表示的证明

任取开集U⊆Y，由于限制映射等于“整体”映射复合包含映射，把f｜ua⁻¹(U)转换成(f°i)⁻¹(U)，根据映射复合的逆的运算，转换成i⁻¹[f⁻¹(U)]，而这正是f⁻¹(U)∩Ua，而根据“分配率”，∪[f⁻¹(U)∩Ua]=f⁻¹(U)，因此∪[f｜ua⁻¹(U)]=f⁻¹(U)。

接下来要说明f｜ua⁻¹(U)是X上的开集。而这依赖于引理：U是Y上的开集，Y是X上的开集，则U是X上的开集。

而该引理依赖于子空间拓扑的定义。

② ①的闭集版：粘接引理。

把①的思路平移过来。

2.同胚。

①同胚是等价关系

②同胚定义里「f⁻¹是Y到X的一个连续映射」这一条不能省。

同构中相应的条件可省。

经典例子证明f连续，f⁻¹却可能不连续。

例2.64 f作用下使得Y里没有“端点”。故而f(0)不是f(U)的内点，所以X中的开集U=[0,1/2)在f下的像f(U)不是Y中的开集，所以f⁻¹不是Y到X的连续函数。

③如果X和Y都是IR上的区间，则第三条可以省