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第1章 函数与极限总结

1、极限的概念

(1)数列极限的定义

给定数列{xₙ}，若存在常数a，对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在正整数N，使得对于n>N时的一切n，恒有

ₙ|xₙ−a|<ξ 则称a是数列{xₙ}的极限，或者称数列 ₙxₙ 收敛于 a,记为   

limn→∞xn=a 或xn→a(n→∞).

(2)函数极限的定义

设函数f(x)在点x₀的某一去心邻域内(或当|x|>M>0)有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε(不论它多么小)， 总存在正数δ，(或存在X) 使得当x满足不等式0<lx-x₀l<δ时,(或当|x|>X时) 恒有|f(x)-Al<ε,

那么常数A就叫做函数f(x)当x→x₀(或x→∞)时的极限，记为

 limx→x0f(x)=A 或f(x)→A(当x→x0).( 或   limx→∞f(x)=A

类似的有:如果存在常数A,对∀ε>0,∃δ>0,当. x:x₀-δ < x< x₀( x₀< x< x₀-δ )

时,恒有|f(x)-A|<ε,则称A为f(x)当x→x₀时的左极限(或右极限)记作

 limx→x0f(x)=A (或   

 limx→x0f(x)=A)

显然有   

   

   

 limx→x0f(x)=A⟺limx→x0−f(x)=limx→x0+f(x)=A)

如果存在常数A,对∀ε>0,∃X>0,当x<-X(或x>X)时,恒有|f(x)-A|<ε,

则称A为f(x)当x→-∞(或当x→+∞)时的极限

记作   limx→−∞f(x)=A (或   limx→+∞f(x)=A)

显然有       limx→∞f(x)=A⟺limx→−∞f(x)=limx→+∞f(x)=A)

2、极限的性质

(1)唯一性

若    

 

limn→∞xn=a,limn→∞xn=b, 则a=b

   

 limx→∞(x→x0)f(x)=Alimx→∞(x→x0)f(x)=B,

(2)有界性

(i)若    

limn→∞xn=a, 则∃M>0使得对 ⁺∀n∈N⁺, 恒有