高中数学基础与解法全集（涵盖所有）|长期更新|从零开始拯救所有学渣！通俗易懂|高
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笔记内容：
初高连接 平面向量 立体几何
数列 导数 解三角形 三角函数
正态分布 排列组合 圆锥曲线
平面向量的基本概念
1.矢量有大小有方向可以理解为矢量等于向量
2.向量由三个点构成：起点A，终点B和长度L
向量符号：→AB 向量的长度：|→AB|
3.“| |”意为：模，长度。
4.当l=0时，称为零向量，0→（仅限零向量）
当l=1时，称为单位向量
5.向量的简写：→a（印刷体中，“a”为加粗的黑体字 a，且并没有“→”）
6.两向量若相同需满足大小相等且方向相同的条件
7.向量可以平移。7.5.向量即使方向不同，也是平行向量
8.零向量与任意向量平行，零向量的方向是任意的
p77向量的加减法运算法则
1.向量看的不是路程而是位移
2.三角形法则
由图所示，从A点到B点有两条路径，从路程看路径1（AC）的路程小于路径2，从位移看两条路径是相等的
由此得出：向量AB+向量BC=向量AC
3.平行四边形法则(还是三角形法则）
向量a+向量b=向量b'（也可以用正交分解法）
4.向量a与负的向量a
解三角形
一.正弦定理
1.正弦定理反映的是两个边和两个角的正弦之间的关系（两边两角）
2.边角互换：①如果一道题两边的正弦是齐次的，可以把它转化为边 ②如果两边的边是齐次的 可以转化为角
发现：角转化为边下一步往往是余弦定理
变转化为角下一步一般是三角恒等变换即角的和与差公式
二.余弦定理
1.题目直接出现余弦
2.三边一角
3.常见形式：b²+c²=a²
三角函数重点提要
简介：许多人学高中数学时三角就是一个大头。但挺多教辅书都是面面俱到的解释。我希望写一个只有重点、难点的笔记
注意1：本笔记适合学完三角后观看!
注意2：一定要多刷题！
一、任意角的度数+弧度制
重点：初中学的是锐角三角比，现在高中拓展到了任意角，并且单位是弧度制
作用：为后面三角函数的定义域拓展到全体实数做准备
实用解题技巧:
1rad=180/π≈60°。也就是说，如果要比较的话，可以偷懒算作是60°去算（k*1rad同理）
总结：相信一开始学挺多人理解不了，那就把它看成一个单位，与“度”的换算是180/π
二、任意角的三角函数
要背的：
sin=纵坐标/单位圆半径
cos=横坐标/单位圆半径
tan=纵坐标/横坐标
cot=横坐标/纵坐标
三、三角公式
1.同角基本关系式
2.诱导公式：奇变偶不变 符号看象限（解释请看视频，然后必须要做大量的题目）
3.和差倍角公式
这三个属于基础公式，得牢牢掌握
4.和差化积+积化和差（用一个看似废话的式子：a=(a+b)/2+(a-b)/2，b=(a+b)/2-(a-b)/2）
5.辅助角公式（推导：通过除以√a²+b²构造和角公式）
6.降幂公式（逆用余弦的倍角公式）
7.半角公式（逆用降幂公式）
8.万能置换公式（半角公式）
四、三角函数一般形式：Asin(ωx+φ)+B
这里给大家看一下如何变化的，多看几遍，多找几个例子就能 找到各个变量的含义
计数原理
合理性说明，插空对应的条件是元素不相邻，先排好没有要求的元素，相当于把条件弱化，牵制等效为空，变成了一个常规的问题。
相邻问题捆绑法。
情景抽象为数学语言，在表达为符号
模式识别是对分析过程的思维断点解读，即找到了阐释该步骤的思维
立体几何
①最大最小值问题
函数法
V球＝4/3ΠR方→R＝1
面积法得出R与l的方程
两边平方，用R的函数表示l
l所得值如图
分母集体换元
基本不等式一步到位
总结分析：运用面积法，还原法，基本不等式
②动态图形研究
临界法
对图形进行直接分析
找到符合条件的临界值
注意分析临界值是否可取【！】
最终确定得出最大最小值或值域
------------------------------------分割线------------------------------------
平面的定义与公理【难死我了55555真的很难不哭】
平面定义： 没有边界无限延伸（例如课桌不可以称为平面，因为其有边界）
点与平面的关系
A∈α
B×∈α
C∈α
线与面的关系
公理①
如果一条直线上的两点在同一平面内，那么这条直线在此平面内（两点确定一条直线，三点不共线的确定一个面）
A∈l，B∈l，A∈α，B∈α→l （α
公理②
过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面（若三点共线，可以画出无数个面）
公理③
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么她们有且只有一条过该点的公共直线（相交）
P∈β，P∈α，P∈α∩β→l＝α∩β且P∈l
直线与直线的关系
①共面
a.相交（一个公共点）
b.平行（没有公共点）
②异面（没有交点）
公理④
平行线的传递性
a1∥a2，b1∥b2 →α＝β或α＋β＝180
<a‘，b>锐角（包括直角）
【注意】异面直线可以垂直，记做a⊥b
异面直线不可以平行（平行直线一定共面）
经典题型：找垂直，平行，异面等
平面与直线的关系
①直线在平面内，即l（α【有无穷个公共点】
②直线与平面相交，即 l∩α＝A【有且仅有一个公共点】
③直线与平面平行，即l∥α【无公共点】
【注意】直线在平面外包括②③
【线面平行的判定与性质】
a.判定
Ⅰ.a×（α，b（α，a∥b→a∥α
Ⅱ..a⊥b，b⊥α，a×（α→a∥α
b.性质
Ⅰ.a∥α，a（β，α∩β＝b→a∥b
Ⅱ.a∥α，b⊥α→a⊥b
【线面垂直的判定与性质】
a.判定
a,b(α，a∩b=A，若l⊥a，l⊥b→l⊥α
Ⅰ.a⊥α，b⊥α→a∥b
Ⅲ.（用得最多）l⊥α→l⊥a......
平面与平面之间的关系
①平行，即α∥β
②相交【有且只有一个公共线】
a.判定
Ⅰ.α面上两条相交直线都与β平行
a（α，b（α，a∩b＝A，若a∥β，b∥β→α∥β
Ⅱ.a⊥α，a⊥β→α∥β【a称为法向量】
【推论】a⊥α，b⊥β，且a∥b→α∥β
Ⅲ.a（α，b（α，a∩b＝A；c（β，d（β，c∩d＝B；若a∥c，b∥d→α∥β
b.性质
Ⅰ.α∥β，a（α→a∥β
Ⅱ.α∥β，a⊥α→a⊥β【判定Ⅱ逆推】
【二面角与面面垂直】
二面角定义与表示方法（见下图）
取值范围 [0°~180°]
【面面垂直】
a.判定
a（α，α⊥β→α⊥β
b.性质
α⊥β，α∩β=l，a⊥l→α⊥β
【延申】三垂线定理（！不可直接用）
a.定理
b.推理
PQ⊥α，a(α→PQ⊥α
OQ⊥a，PQ,OQ（面POQ，PQ∩OQ＝Q
∴a⊥面POQ，PQ（面POQ，a⊥PQ
【外接球之墙角模型】
！：补出长方体，求出长方体外接球半径（体对角线的一半）即为三棱锥外接球
【外接球之外心法】
外心：三角形三条边的垂直平分线的交点
【题目中长度条件特别多时注意探究线段长度之间的关系（常出现直角等特殊角度）】
【存疑】
【外接球之特殊求法】
bingo♥
正态分布
1 对称轴x＝μ
2 f（x）在x轴上，与x不相交
3 s＝1
表示为N（μ，Σ的平方）
x~N（μ，Σ的平方）
Σ确定了最高点的值，
Σ越大，数据越分散
Σ越小，峰值变大了，最高点更高，下降的更快，他的数据更加的集中
焦点三角形
椭圆的第一定义
中位线（中点条件多）
勾股定理（直角问题）
一般的三角形
角度的问题
1.先根据椭圆和三角形的性质找出对应边的关系
2.把角度条件转化为a和c之间的关系（离心率e=c/a）——余弦定理
3.算出来的式子同除a，得到离心率相关的式子（常用）
抛物线不一定是函数。
抛物线性质：抛物线上的点到准线和焦点的距离相等（考到就考）
直径---- 对角90度
抛物线容易考察各种位置关系，注重几何意义。
求t与p的关系时不要看到二次方程就不敢做，你要求关系又不是把两个都求出来。
看到（a,0）（-a,0）/(0,a),（0，-a）要条件反射
注意题目的限制条件
相 加 快 乐
求离心率看a和c 看见一般角度解三角形
记得离心率有范围
条件一定要用完
十字相乘法
2.何为Δ
3.Δ的三种情况
4.求根公式是什么
5.对称轴是什么
一次分式
技巧：所有的一次分式求值域问题都只需要将分母
整体换元 （换元法）也叫参数分离。
二。二次分式
通法：（判别式）把函数转化成关于x的二次方程，通过方程有实数根，得判别式Δ≥0，从而求得原函数的值域。
全称量词与存在量词
量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词命题，用符号∀表示。（A就是all,倒过来作符号,表示所有的避免雷同）
短语”存在一个“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词命题，用符号∃表示。（E就是exist,反过来做符号表示存在,也同样表示所有的避免雷同）
三。根号
①方法：（代数换元） 遇见根号同次可以将其转化为二次函数求值域。
②方法：（三角换元）遇见根号不同次时可以考虑将x换为cosα
导数
学完等差过来看两边求导的原因是为了凑出这里的等式令（...）=0的原因是导函数等于0（即原函数此时斜率为0），必然是函数图像一端点，借此展开单调性讨论
因为相除导数运算法则限制了分母为正数，因此只需讨论分子的正负区间即可得到原函数单调性
导数第五节（函数单调性与导数）
基本知识：
- 导函数大于0时，原函数变化率大于0（反过来同理）
- 导函数越大，导数变化越快
用导数去画图时遵循三步：
- 先看原函数定义域
- 对原函数求导（求导后化简），观察导数正负情况
（其中可将导函数画出观察正负）
- 在原函数图像上将某些特殊拐点标出，并作图
本节坑点：
- 注意定义域的范围
- 函数较多，注意形式（普通，复合，相乘 ，相加）
导数第六节（极值与最值）
基本知识：
- 发生趋势变化的点的横坐标称为极值点
（分为极大值点与极小值点）
- 极值点的F(x)为极值
（分为极大值点与极小值点）
坑点：
- 极大值并不代表着最大值（某定义域中的最大值或极小值）
- x的三次并不存在极值点
分段函数
画图像尽量画好看
题型： 1.零点 变为 →交点
2.交点 变为 →零点
一.1.分段分段看
2.画图像尽量画好看
例一：先判断第一段
第一段是二次函数且开口向下对称轴左侧增函数，当对称轴-b/2a=0时，第一段上全部为增函数，当x=0时f(x)=0.
第二段是一次函数增减性取决于（2a-1），当（2a-1）＞0时为增函数，同时a-1要在0上方或与0重合。所以解得。
例二
求f(a+b)的取值范围首先要找出a与b的范围，解得
a≤-3/2 b≥0。然后联立用a表示b最后带入f(a+b)求f(a+b)的值域
p5二次函数中的a，b，c
先画图
解：因为a₁＞a₂＞a₃＞0所以三个图像开口都向上，
依题意得a₁的方程中的两个根为-1与+2
（因为y等于a(x-x1)(x-x2)，负负得正，当那个x1是负时前面号应该变正，或把a1(x + 1)(x - 2)=1左右两边看成两个式子，右边是一条y恒等于1的横线，左边是a1(x + 1)(x - 2) = y 的抛物线。这些也是弹幕里的，谢谢大佬( • ̀ω•́ )✧）
因为a₁＞a₃，所以a₂的图像开口应该比a₁的大
由图可得a越小最低点越高（一哥原话）
a₃如上
①abc＞0
依题意可得-b/(2a)=-1即b=2a
解：由图得a＞0，c＜0，用左同右异可得b＞0
（左同右异：ab异号对称轴在Y轴右边，反之ab同号对称轴在Y轴的右边。谢谢大佬。Thanks♪(･ω･)ﾉ）
所以abc应该小于0所以①错
②b²-4ac＞0
解;将图像补全可得该二次函数图像与x轴有两个交点，所以b²-4ac＞0。故②正确
而且还可以利用对称轴还可以将两个点的坐标求出来。
（说f1=0，就是令其中的一个焦点等于0。老样子，谢谢大佬。Thanks♪(･ω･)ﾉ）
让其中一个交点等于0可得：c等于几个a
X=1时，a+b+c=0得3a=—c
方法二，将x=-3带入方程计算，可得y等于0
由刚才的计算可知x=-3是方程的另一个根
（而且还可以利用对称轴还可以将两个点的坐标求出来。记起来没？）所以③对
④若点（-0.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上则y₁＞y₂
解：离对称轴越远函数值越大（前提条件为a＞0，若a＜0则离对称轴越远函数越小。）为什么呢？↓
解：将b=2a代入
得5a-4a=a
在前面我们知道了a大于0
所以5a-2b应该大于0
所以⑤错
所以这题选a
解：我们知道判断纵坐标的关系只需要知道它离对称轴的远近。
因为y0≥y1＞y2《好话》可得抛物线的开口方向应该是开口向下。如果开口向上且c为顶点的话就不会有y0≥y1＞y2了，因为没有抛物线上没有点会比最低点更低。（开口向下有最大值，开口向上有最小值，然后在跟对称轴结合起来，多想想就行。感谢大佬。）
因为y0≥y1＞y2，可得y1离对称轴更近。
（X0-(-6)是X0到-6的距离，2-X0是是因为X0本身是在负半轴上，减去就相当于负负为正，所以就是2到X0的距离，感谢大佬。）由此可得x0-（-6）<2-x0，2x0<-4
所以x0<-2
由此可得-6对应的纵坐标，比2对应的纵坐标，就是A的纵坐标大过B的纵坐标
所以这题的答案选b
为什么不能选c？↓
众所周知，韩国娱乐圈是很难混的。原因很简单，竞争太激烈。
所以能在韩国出道的艺人都是经过严格培训的，他们的培训不仅仅包括唱歌、跳舞等才艺，就连面对镜头该如何回答问题这些内容，他们都经过专人培训。
也正是因为这样，韩国艺人都很敬业。在发生演出事故时，他们都会从容面对。
在2022年韩国MBC歌谣大祭典上，韩国女团aespa队长柳智敏就在表演的时候遇到了鞋底脱落的突发状况。
当天，柳智敏身穿黑色短裤配黑色厚底靴。表演刚开始的时候，一切都很正常，柳智敏在台上又唱又跳，台下的观众也很兴奋。
正当表演逐渐进入高潮的时候，让人想象不到的一幕发生了，柳智敏鞋底脚后跟的部分彻底掉了下来，整个厚厚的鞋底只靠着脚掌的部分黏连着，这才没能完全掉下来。
面对突发状况，柳智敏就像什么事情都没发生一样，她表情从容，依旧有条不紊地跟着音乐的节奏完成了自己的表演。
如果不仔细看，从柳智敏的表现来看，根本不会发现她的鞋底已经掉了。
除了柳智敏之外，有着“小野马”之称的韩国女明星金泫雅在表演的时候也曾发生过多次很严重的演出事故。
那是在2019年5月16日，泫雅在韩国某大学进行表演。
当天金泫雅身穿绿色吊带，因为舞蹈动作太大，以至于她胸前系成蝴蝶结的吊带突然散开，现场的观众看到后也都惊到了。
面对这种情况，泫雅只是淡然一笑，然后迅速地抓住散开的衣服，避免了走光。
随后在表演过程中，她一手拿着麦克风，一手捂着自己的胸口，继续唱歌、跳舞。直到有机会转身了，她才趁机把衣服又整理好。
整个过程，金泫雅的表演一刻都没停，她整个人也没表现出任何的慌乱。
有着“韩国第一腿精”之称的宣美在表演的时候也曾遇到过和金泫雅类似的状况，不过她并没有像金泫雅那样从容解决，因为她解决不了。
当时宣美是上衣的肩带突然断了，如果她想把肩带系上，那就必须要停止表演。为了保证演出的顺利进行，宣美并没有停下自己的表演。眼见着衣服一点点向下滑落，宣美也只是趁着舞蹈的间隙，尽力将衣服向上拉一拉。
就这样，宣美努力完成了自己的表演。
相比这些衣服滑落的状况，金泫雅在舞台上不小心摔倒，那才吓人一大跳呢。
在2019年5月30日，金泫雅在表演的过程中又不慎摔倒在舞台上。当时金泫雅是头朝下摔在舞台上，只看这个动作就让人很担心了。
后来，金泫雅在网上晒出摔伤后的照片，从照片中可以很清楚看出金泫雅脸部的红肿，可见当时的确摔的不轻。不过好在只是表面上的伤痕，骨头都没事。
金泫雅晒出照片的同时，她还发文安慰粉丝，说自己身体结实，没大碍。
