数学杂谈（2）简析「托里拆利的小号」

2022-07-21 20:52 作者:Ymprover 0人读过 | 我要投稿

“托里拆利的小号”的方程（旋转体以 $x$ 轴为旋转轴）：

$y%5E2%2Bz%5E2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%2Cx%5Cin%20%5B1%2C%20%2B%E2%88%9E)$

原理：在平面 $x%3Dt%2Ct%5Cin%5B1%2C%2B%5Cinfty)$ 上有一个以 $(t%2C0%2C0)$ 为圆心， $%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%7D%20$ 为半径的圆. 由圆的方程，有 $%E2%8A%99T%3Ay%5E2%2Bz%5E2%3D(%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%7D)%5E2%2C%E5%8D%B3y%5E2%2Bz%5E2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%5E2%7D.$ 当 $t$ 在区间 $%20%5B1%2C%20%2B%E2%88%9E)$ 上变化时， $%E2%8A%99T$ 的轨迹为点集 $%5C%7B(x%2C%20y%2C%20z)%7Cy%5E2%2Bz%5E2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%2Cx%5Cin%20%5B1%2C%20%2B%E2%88%9E)%5C%7D$

即“托里拆利的小号”的方程为 $y%5E2%2Bz%5E2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%2Cx%5Cin%20%5B1%2C%20%2B%E2%88%9E)$ .

求托里拆利小号的表面积和体积（切片法）：

$S%3D%5Cint_%7B1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%202%5Cpi%C2%B7%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20%5C%2C%5Cmathrm%7Bd%7Dl%3D2%5Cpi%5Cint_%7B1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%5Csqrt%7B1%2B(%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dx%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)%5E2%20%7D%20%5C%2C%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx$

$%3D2%5Cpi%5Cint_%7B1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%5Csqrt%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E4%7D%7D%20%5C%2C%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%3E2%5Cpi%5Cint_%7B1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20%5C%2C%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx$

$%3D2%5Cpi%5Clim_%7B%5Cvarepsilon%20%5Cto%5Cinfty%7D%20%20%5Cint_%7B1%7D%5E%7B%5Cvarepsilon%20%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20%5C%2C%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%3D2%5Cpi%5Clim_%7B%5Cvarepsilon%20%5Cto%5Cinfty%7D%5C%2C%5Cln%20%7Cx%7C%20%5Cbigg%20%7C%5E%5Cvarepsilon%20%20_1%20%3D%20%5Cinfty.$

$V%3D%5Cint_%7B1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20%5Cpi%C2%B7(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)%5E2%20%5C%2C%5Cmathrm%7Bd%7Dx%3D%5Cpi%5Clim_%7B%5Cvarepsilon%20%5Cto%5Cinfty%7D%20%5Cint_%7B1%7D%5E%7B%5Cvarepsilon%20%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%20%5C%2C%5Cmathrm%7Bd%7Dx$ $%3D%5Cpi%5Clim_%7B%5Cvarepsilon%20%5Cto%5Cinfty%7D%5C%2C(-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%20)%5Cbigg%20%7C%5E%5Cvarepsilon%20%20_1%20%3D%20%5Cpi.$

这就表明，托里拆离的小号的表面积无限大，而体积收敛到常数 $%5Cpi$ .

这不禁让我想到某些分形图形（比如科克曲线），其周长无限大，而面积是收敛的.

在现实生活中，托里拆利的小号是不存在的，因为它不符合物理学.

对于上文 $%E2%8A%99T%3Ay%5E2%2Bz%5E2%3D(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)%5E2%2C$ 其直径 $%5Clim_%7Bx%5Cto%E2%88%9E%7D%20d(x)%3D%5Clim_%7Bx%5Cto%E2%88%9E%7D2r%3D%5Clim_%7Bx%5Cto%E2%88%9E%7D%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%7D%20%3D0%20.$