当代数学哲学导论（3）：实数和第一次数学危机
我们前面提到，平面几何的发展是数学的第一个巅峰。与此同时带来的是面积和长度的测量导致的有理数。在平面几何中将线段平分或者三等分实在是一个非常常见的操作。因此有理数在古希腊人眼中并不是什么奇怪的东西。
不过，古希腊人认识的有理数和我们的还是有所差别的。毕竟有理数不是一个自然嵌进语言系统的东西。他们对有理数的认识其实是我们在小学中学到的“比例”。也就是说，他们理解的是将一个整数等分之后的结果。当然后来他们知道这个可以转化为小数，所以也没什么奇怪的。如果我们仔细思考分数的写法，就能发现它本质上就是比例，只不过因为后来的发展需要写成了我们现在熟悉的样子。
后来我们知道发生了第一次数学危机。这个在初中教科书里面是详细介绍了的。大概就是有一个人想要去探究两直角边边长为1的等腰直角三角形的斜边长，然后用一点奇偶分析就能知道它不能用一个比例表示，从而引发了一个巨大的危机。
我在这里首先怀疑，当时他究竟是否是通过奇偶分析得到这个结论的。因为根据考证，正是在人们意识到不是所有的几何量都能通过比例表示后，才开始大规模地研究代数和数论的。我认为他很可能完全不知道奇数和偶数这两个概念。
一个比较可靠的说法是他是在研究五角星时发现无理数的存在的。毕达哥拉斯学派其实并不完全是一个数学学派，它同时也是一个哲学和宗教学派，五角星就是他们的标志性图案。于是这个学派的一个忠实信徒就想去研究一下他们这个宗教符号里面各条边长度的比例，其中就有一个步骤是要考虑底角为72°、顶角为36°的等腰三角形的底和腰的边长。从现在的角度看这当然是一个简单的三角函数问题，只要记住sin 36°就好了。但是当时的人显然不知道。他做了底角的角平分线，得到了一个相似三角形，然后利用无穷递降法就可以得到结论。（因为我们不是讲数学，所以数学细节我们就略过了）
不管怎么样，这个发现产生了巨大的恐慌。发现这一结论的人——好像叫希帕苏斯，被扔进了大海。但是和现代教科书宣称的不同，古希腊人很快就恢复了理智。毕竟逃避问题是没有用的，有很多数学家在这一方面做出了精彩的工作。其中最杰出的是欧多克索斯。下面我们来介绍他的工作。
欧多克索斯可能是古希腊时期最杰出的数学家（没错，可能高于欧几里得、阿基米德和毕达哥拉斯）。欧多克索斯第一次引入了“量”的概念。在他之前，平面几何没有长度和面积的概念，人们会说这条线段是1，那个正方形是2，欧多克索斯第一次纠正了这种含糊不清的说法。他指出，应当说这条线段的“量”是1，那个正方形的“量”是2，“量”是一个几何体的一个重要特征，但不是唯一的特征。
与此相对应的概念是“数”和“比”，“数”就是今天的有理数，“比”是同类量之间的大小关系，如果一个量加大若干倍之后就可以大于另一个量，则说这两个量有一个“比”。欧多克索斯随后指出，“量”是一个比“数”或者“比”更宽泛的概念。一个量可以是数，也可以不是数。
欧多克索斯的思想实际上承认了几何是比代数更加深刻的东西：几何的量不一定是代数的数，但是代数的数总是比几何的量。这不是变相承认了代数不如几何吗？
如何用数刻画一个量呢？欧多克索斯为此做了大量的工作，加之同时的对代数和数论的其它研究，古希腊的几何学家们建立起来了比例论的观点，用此来阐述究竟什么是一个量。有关比例论的内容，可以参考《几何原本》的第五章。这也是几何原本中最冗长的一章，欧几里得可能认为，比例论才是整个古希腊平面几何的核心。
我们回到上一节提到的观点，我们来想一想为什么会有第一次数学危机这样的故事？
归根结底是因为“万物皆数”，认为所有的量都可以用有理数来表示。那么为什么所有的量都能用有理数表示呢？为什么他们不认为可以用自然数表示呢？是因为自然数中间显而易见有着巨大的漏洞，一斤肉和两斤肉之间是存在着巨大的差距的，有一斤半，一斤二两或者其它乱七八糟的情况。自然界中存在着如此之多的连续变量，使得我们不可能认为离散的自然数能表示所有的量？
但是有理数呢？它可以将任何一个自然数进行任何次的等分，看上去是非常连续的，特别是小数的表示，任意一个数进行截断都可以得到有理数，有理数似乎足以概括这个世界的一切自然变量。特别是我们容易发现，任意两个有理数之间都有无穷多个有理数，这一点似乎更加笃定了我们对于有理数的力量。
无理数的发现，打碎了这种力量的期望。我们发现如此之多的基本的量不能用有理数表示。我们能做的就是用有理数去不断地做估计、做逼近。
我们从马后炮的观点来提出一个截然不同的解决方式。我们不妨承认无理数就是客观存在的数。通过比例论，我们总是可以给出无理数的估计。而很显然，加法、乘法是保持这些估计的，不等关系（也可以叫做“序”）也是保持这些估计的。换言之，我们扩展了数的概念，但是我们却没有牺牲太多好的性质：加法、乘法和序都是和这种扩充不矛盾的。也就是说，我们利用不大的牺牲（即不能表示为两个自然数的比）就解决了一个复杂的问题（即第一次数学危机），根据我们上一节的观点，这显然是一个好的推广。
从更直接的观点来看，这个问题的根源是连续性的问题。也就是说，有理数并不足以描述自然界一切连续的东西。这是一个重要的观点。与此同时的还有芝诺悖论。它们在一起构成了古希腊人们对于连续性的两大迷惑。
和连续性一个相关联的状态是无穷。既然一个东西可以被连续地分割，那么其中必然涉及到无限多个无穷小过程。这一直观将会带来更多奇怪的东西，我们放在后面再说这段有趣的历史。
实数问题的真正解决要到19世纪了。戴德金和康托分别提出了实数的严格定义。随着数学的进一步发展，这些定义也在被不断地完善着。例如现在就可以有下面的两种定义方式：
实数是唯一完备的全序域；
实数是有理数的（拓扑）完备化。
除此之外，Tarski在1936年的《逻辑与演绎科学方法论导论》中给出了实数的Tarski定义；R. D. Arthan在2004年的一份arXiv预印本（网站链接：https://arxiv.org/pdf/math/0405454.pdf）中给出了Eudoxus实数的定义……还有很多很多的定义，在这里就不再列出了。
关于实数定义的研究不是毫无意义的，也不是已经彻底完成的工作。正是在实数定义的研究中，数学家们给出了很多不同的数学结构带来的性质。我们来介绍一个有趣的结果。
一般数学分析的课程都愿意将实数定义为唯一完备的全序域，这种定义不涉及太复杂的知识、也不涉及太复杂的逻辑推导，而且与数学分析课程的后续内容联系紧密。它实际上包含了十六条公理，其中包括四条加法公理、四条乘法公理、四条全序公理（也就是我们熟悉的不等关系）、三条相容性公理（保证加法、乘法和全序不会自相矛盾）和完备性公理，抽象代数的一个结果断言满足这十六条公理的集合之间总是相互同构的，我们将其定义为实数。其中一个有趣的结论是乘法单位元1是严格大于加法单位元0，也就是说：
1 > 0。
乍一看你可能会觉得这不是显然的吗？事实上这个结论的证明并不容易，它牵扯到两个计算系统和一个比较大小的序系统，证明它是需要一些力气的。
前面提到，Tarski也给出了一个实数的定义。这个定义只包括八条公理系统。其中前六条可以推出四条加法公理、四条全序公理、一条相容性公理和完备性公理。他的第七条公理说：
在这个集合中存在一个特别的元素叫做 1；
啥？这什么鬼。我们再来看看他的第八条公理：
1 > 0。
啥？乘法公理、另外两条相容性公理能从Tarski的这两条公理推出吗？事实上，Tarski用一个极为冗长的步骤说明，在这个集合上存在唯一的乘法运算使得1是其单位元，并且满足相容性公理，换句话说，1 > 0是一个极为重要的结论，它可以代替乘法！
