柯西把极限概念转换成算数语句；“分析算术化”运动努力的开端

牛顿236、柯西把极限概念转换成算数语句；“分析算术化”运动努力的开端

柯西对极限的定义引入ε精确描述，意义何在？ 为什么这种精确的数学描述很重要？——网友提问

…极、限、极限：见《欧几里得178》…

（…《欧几里得》：小说名…）

…定、义、定义：见《欧几里得28》…

…ε（伊普西龙）：希腊字母第五个字母，大写Ε，小写ε，拉丁字母的E是从ε变来…

…精、确、精确：见《牛顿25》…
…描、述、描述：见《伽利略34》…

（…《伽利略》：小说名…）
…意、义、意义：见《欧几里得26》…

…数、学、数学：见《欧几里得49》…

ANARKH（半核心玩家。擅长演奏退堂鼓）（编辑于 2014-08-14）：

题主，不知道你是不是和我一样，也被那本绿油油的同济版《高等数学》搞得晕头转向，想从头开始自己研究一番，又一下子陷入了“极限”这个概念的泥潭。

…研、究、研究：见《欧几里得42》…
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…

其实 对极限的定义 本身就是一件十分困难的事情，伟大如牛顿、莱布尼兹，也不得不含糊其辞，为此还遭到嘲讽。直到19世纪初 柯西第一个把这个有点模糊的概念转换成算数语句。

 

我曾对这个概念思考过好久，也请教过许多人，却也不敢保证能很好的回答这个问题。

为了了解精确描述的意义何在，我们先看看不同时期对于极限的定义：

 

莱布尼兹（1684）：如果任何一个连续变迁以一个极限为终结，那么就能够形成一种普遍的推理，它也能适用于最终的极限。

…连、续、连续：见《欧几里得44》…

…推、理、推理：见《欧几里得12》…

 

牛顿（1687）：逐渐变小的量之间的最终比值…（是）极限，即数量比值无限减小却总是收敛（liǎn）于它；

…收、敛、佥、收敛：见《牛顿215》…

 

它们比任何事先给定的差值更接近地趋向于它，但永远也不超过也不达到它，直到这些量减到无穷小。

 

麦克劳林（1742）：2x+o与a的比率，当o减小时，连续地减小；当o是任意实增量时，总是大于2x与a的比；而这显示了它连续趋向于2x与a的比，并以其为极限。

 

达朗贝尔（1754）：比值[a:2y+z]总是小于a:2y，但是z越小，这个比值就越大，并且由于人们可选取任意小的z，比值a:2y+z就可按我们希望的那样靠近比值a:2y，因此a:2y是比值a:2y+z的极限。

 

拉克鲁瓦（1806）：比值（μ1-μ）/h的极限…是这样一个值，当量h减小时，这个比值按比例趋向于它，并且可按我们作出的选择来接近于它。

 

柯西（1821）：如果赋予同一变量的连续不断的一系列数值，使其无限地趋向于一个固定的值，使得最终它们与固定值的差按人们所希望的那样小，则后者称为所有其他数值的极限。

 

 

的确，自然语言有时候更为直观，“无限接近”、“要多小有多小”比起奇怪的字母和不等式更容易理解，但是数学本身的特点决定了它必须严谨。

…自、然、自然：见《欧几里得128》…

…语、言、语言：见《欧几里得160》…

…直观：见《牛顿220》…

…理、解、理解：见《欧几里得58》…
…特、点、特点：见《牛顿95》…
…严、谨、严谨：见《欧几里得155》…

 

不够严密的理论带来的后果很明显，对“无限”的理解产生矛盾，以“飞矢不动”等悖（bèi）论为代表的第二次数学危机爆发。

…严、密、严密：见《欧几里得53》…

…理、论、理论：见《欧几里得5》…

…矛、盾、矛盾：见《欧几里得72》…

…“飞矢不动”等悖（bèi）论，第二次数学危机：见《牛顿223~233》…

 

数学家们凭直觉 想当然地做出判断的后果才是最可怕的，基础的理论不够严谨，在此之上的发展便很容易犯错，看起来高大坚固的理论大厦实则不堪一击。

…直：见《欧几里得34》…

…觉：见《伽利略60》…

…直觉（百度汉语）：1.未经逻辑推理的感性认识。

2.直接感到…

（…逻、辑、逻辑：见《欧几里得5》…
…感、性、感性：见《牛顿119》…

…认、识、认识：见《欧几里得51》…）

 

…判、断、判断：见《欧几里得70、71》…

…基、础、基础：见《欧几里得37》…

…发、展、发展：见《伽利略21》…

 

…

如果我们分析“连续趋近”这个词的真正意思，和在一个特定的情形下，必须如何对它进行检验，那么就不得不接受像柯西这样的定义。

这个定义是静态的，它没有预先假定运动的直观观念。相反，只有这样一个静态的定义，才能对时间上的连续运动作出精确的数学分析。

…运、动、运动：见《伽利略9》…

…时、间、时间：见《伽利略10》…

…精、确、精确：见《牛顿25》…

…分、析、分析：见《欧几里得36》…

 

即使是在 柯西一定程度上澄清了微积分基础问题的混乱之后，当时仍存在着一个普遍的错误观点，即凡连续函数都是可微的。因此，当德国数学家魏尔斯特拉斯在1861年举出一个处处连续却处处不可微的函数例子（魏尔斯特拉斯函数）时，数学界可以说是大为震惊，这个例子使人们迫切感到彻底摆脱对几何直觉的依赖，重新认识考察 分析基础的必要性。

…错、误、错误：见《欧几里得193》…

…观、点、观点：见《欧几里得50、51》…

…几、何、几何：见《欧几里得28》…
…考、察、考察：见《欧几里得39》…

…必要：不可缺少；非这样不行…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…

 

这就是随后的“分析算术化”运动努力的开端。

…算、术、算术：见《欧几里得28、29》…

…化：后缀。加在名词或形容词之后构成动词，表示转变成某种性质或状态：绿～。美～。恶～。电气～。机械～。水利～…见《欧几里得2》…

 

魏尔斯特拉斯批评柯西等前人“无限地接近”等说法具有明显的运动学涵义，代之以更精密的ε-δ表述，用这种方式重新定义了极限、连续、导数等分析基本概念。

…精、密、精密：见《牛顿129》…

…δ（希腊字母）：Delta（大写 Δ，小写 δ），是第四个希腊字母…

…

题主，从流数法到实数理论，几百年的时光，数不尽的纷争，无数人的尝试，足以证明这是最适合数学的方式。

…实、数、实数：见《欧几里得37》…

…证、明、证明：见《欧几里得6》…

…方、式、方式：见《欧几里得57》…

 

就像无论我们以什么比喻理解了极限，最后都会发现，现在的定义最无懈可击，简洁，严密，充满美感。

 

不愧是上帝的语言。

（赞同153）

 

“要取得一个东西的极限，直观方法无非是无限逼近。
更进一步来说，就是邻域不断缩小。
极限的数学定义就是邻域不断逼近这种直观方法的数学描述。
它的定义这么长，但是要表达的核心意思只有一点，就是邻域不断缩小，极限值却一直在范围内。

请看下集《牛顿237、柯西对极限定义引入ε精确描述，意义是避免了很多含糊不清的情况》”

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