背景介绍

Bakker, E., Nyborg, L., & Pacejka, H. (1987). Tyre modelling for use in vehicle dynamics studies. SAE Paper No. 870421.
根据Pacejka等在1987年发表的论文介绍魔术公式形成的过程。第一部分，纯转弯和纯制动下，轮胎的侧向力、回正力矩和纵向力。

根据论文中的描述以及后来出版的Tire and Vehicle Dynamics，当时和沃尔沃合作研究的测试设备应该是图1~2这样。

研究人员用这套设备完成了纯转弯（没有驱动和制动），纯制动（转向盘零位），以及制动加转弯的联合工况三种测试。

这一部分先介绍纯转弯和纯制动工况下，如何想出采用魔术公式这种形式进行拟合Fy，Mz和Fx的。

首先得到处理后的实验数据（修正轮胎圆锥效应、滚动阻力等的影响），得到稳态响应的数据

本文采用的是基于数据的模型，不考虑机理，因此接下来就是考虑曲线拟合。常见的拟合方式是级数拟合，如傅里叶级数和多项式级数。

但这些级数是通用的，有通用的优势，必然就有通用的劣势：1要得到拟合良好的曲线需要很多项，也就有很多系数；2越是高阶的级数越容易引起局部振荡，而要想拟合效果好，引入更高阶的项是必然的；3泛化能力差，容易局部过拟合，拟合范围外无法正常预测；4系数难以用物理概念解释。

根据实验数据的特点（先是近似线性段，之后是饱和略有下降段），首先想到了采用正弦曲线来描述。

近似线性段：Y'=DBcos(Bx),这里关心DB，也就是X=0处的曲线斜率，也就是轮胎的变形刚度，这一段很重要，D*B是大部分时间工作在线性区的刚度系数；

饱和段：D限制幅值，也就是最大侧向力、回正力矩和纵向力。

同时B可以拉长函数。就得到了最初步的曲线

发现这些曲线是很粗糙的，Fy和Mz还能够勉强接受，但是由于Fx的刚度太大导致B没有办法减小而拉长曲线。

所以，下一步的工作就是继续优化BD和B，不能让B及决定线性段刚度又决定曲线饱和段。拉长曲线需要再加一个系数。这里可供选择的方案有很多，神经网络里常见的激发函数其实都可以，我估计只是由于开始用三角函数了，Pacejka就决定一条道走到黑全用三角函数了。

用反正切来让sin的自变量先快速变化后缓慢变化，形成线性段+饱和段的曲线形状。

线性段：这里注意Y'=BCD*(cos(Catan(BX)))/(1+B^2X^2),此时BCD是零点处的刚度值

饱和段：还是D限制幅值

BX变成atan(BX)，C可以控制这个变化的幅度，限制最大为pi/2*C,最终决定曲线的形状。

其实到这里，曲线形状已经足够接近真实数据了，所以有很多用这种简化魔术公式的来方便求解。

Pacejka精益求精，继续加了一个曲线形状系数，来调整线性段到饱和段过渡的局部曲线形状，使拟合效果更好。

最后，考虑轮胎角度效应、圆锥度和滚动阻力。整个图像会有上下左右的平移

最后，我们看一下各公式下的曲线形状对比

附录 论文中的数据