S4E08 Penrose阶梯：哪里是最高点？

你能找到下面阶梯的最高点吗？

这个是著名的Penrose阶梯，是一个有名的几何学悖论，指的是一个始终向上或向下但却走不到头的阶梯，可以被视为彭罗斯三角形的一个变体，在此阶梯上永远无法找到最高的一点或者最低的一点。

为什么会有这样的视觉效果呢？我们转动一下来看……

原来它是在一个三维的空间绘制的，那已经学过GGB 的同学，你们可以自己探索出来怎么绘制吗？你觉得有哪些 困难呢？（基本上在第一步就可以完全解决你的困惑，后面的都是已经学习过的内容啦~对于新同学，本节课是一节很容易上手的课程，新同学也快快开始操练吧~~）

今天这节课，你将收获：

1.3D 绘图情境下，绘制立体图形

2.使用指令平移对象

3.使用Sequence指令绘制一系列的对象

4. 取用序列里面的元素

这些指令其实我们都已经学过了，有基础的同学们，可以试着在3D 绘图里面自己现在探索喽~其他同学请看下面的学习内容。

1 绘制一个长方体

平时我们绘制的都是二维的图形，今天我们会在不同的工作区来绘制长方体。

A. 打开工作区

i. 右上角-新建-【3D绘图】。

在这里我们就可以进行绘制立体图形啦~观察一下这个界面和平时的二维绘图区域有什么不同吗？

ii. 绘制长方体

想一下我们之前绘制“角”的时候，使用的是角的什么定义呢？【动态定义】在GGB 里面我们经常会用到动态的定义来绘制图形。比如，长方体可以看做是一个四边形平移产生的，这就是我们绘制立体图形的一个方式。

方法一：绘制四边形，拉成长方体

a. 选择-【多边形】-选择xoy平面内的四个点，绘制四边形

b. 选择-【拉成柱体】-沿z轴拖动上述四边形，形成长方体

方法二：

a. 选择-【多边形】-选择xoy平面内的四个点，绘制四边形

b. 设置高度h，h=0.2

c. 选择-【拉成柱体】-点击四边形，在弹出的高度输入框中，输入希望的高度，比如3h

2  平移长方体

当我们绘制了一个长方体之后，就不需要再重复上面的工作了，我么可以使用【平移】指令进行平移即可。

Translate( <Object>, <Vector> )【翻译：【平移（对象，平移向量）】（注意，立体空间的向量的表示方法）】

Vector( <Point> )【翻译：向量（点）】

我们可以找到上面棱柱的名称为g1，你可以书写怎么样的指令来让前面的长方体在x轴上进行平移呢？答案见①

好像只在x轴上平移还不够，还需要往上进行升，所以你可以怎么修改你的指令呢？答案见②

方法一

以此类推，可以再平移g2……然后再沿着y轴和x轴的负半轴平移。

方法二

我们发现，g1在沿着x 轴平移和上升的过程中，其实是在不断地重复平移，如果每一次平移都以g1为起点的话，那平移向量就是递增的，这种重复性的我们可以使用【序列】来帮助我们快速完成。

Sequence( <Expression>, <Variable>, <Start Value>, <End Value> )【翻译：序列（表达式，变量，起始值，终止值）】

我们需要重复的就是（Translate( g1, Vector((1,0,2h)) ))，我们把其中需要不断增加的量，用函数表示即可。你可以写出这个指令吗？答案见③。

接下来我们可以平移序列l1中的第四个对象，使得它沿着y轴的正半轴进行上升。那么这时候我们可以使用【元素】指令，取出l1中的第四个元素。

Element( <List>, <Position of Element> )【翻译：元素（序列名称，位置）】

那取出l1中的第四个元素的指令可以怎么写呢？答案见④

那么我们可以继续使用【序列】指令，进行平移指令见⑤

以此类推……

3 美化一下

在【设置】中，可以对不同方向的阶梯设置不同的颜色。

4 转动图形，产生错觉

最后，我们可以通过转动找到恰好的点，产生视觉误差，你做到了吗？

答案区

红色的部分，可根据情况进行调整

①  g2=Translate( g1, Vector((1,0,0)) )

②  g2=Translate( g1, Vector((1,0,2h)) )

③  l1=Sequence(Translate( g1, Vector((1,0,0.2k)) ),k,1,4)

④  Element(l1,4)

⑤ l2=Sequence(Translate( Element(l1,4), Vector((0,1,0.2k)) ),k,1,4)

参考资料

【GGB】https://www.geogebra.org/m/hQ83dGHj

【Bili】https://www.bilibili.com/video/av43796708?p=4