【全国大学生数学竞赛】非专业组，重积分不等式难题①【也可用二元泰勒证明】

📑考研高数/数学竞赛题型分类笔记06

分类：重积分——二重积分——不等式证明

知识点：放缩法证明不等式，二重积分中极坐标与普通坐标的转换，向量点积公式用于放缩，牛顿莱布尼茨公式逆用，巧用边界值

【向量点积公式用于放缩：

】

【二重积分放缩方法：

①求出最大最小值

②二元函数泰勒展开

③对积分区域进行放缩

④转换成曲线积分进行放缩

⑤转换成三重积分进行放缩（本题）】

题型：二重积分→三重积分，放缩法证明不等式

例题1：

如何使二重积分→三重积分——牛顿莱布尼茨公式逆用

思路流程：

①普通坐标转换成极坐标系。巧用边界，找出f(cosθ,sinθ)=0这个式子

②逆用牛莱公式，二重积分→三重积分

③求导，使用向量内积放缩

④提出要证明的式子，剩下的正常计算积分

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本题还可以使用二元函数泰勒展开证明